Derivata di un vettore

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Sciarra1
Sciarra1
15 set 2015, 14:56
salve a tutti, volevo sapere: se ho una funzione vettoriale $X(T)$ ove $T=(t_1,...,t_k)inEsubR^k$ mentre $X:T->F$ con $FsubR^n$ quale sarà la derivata di $X(T)$? Ed inoltre la derivata di questa funzione vettoriale è un vettore con $n$ componenti se fatta rispetta ad una sola direzione?
Lo chiedo perchè il mio libro dice che la derivata lungo una direzione $V$ di una funzione composta (del tipo $f(X(T))$) è:
$(partialg)/(partialV)(T)=$ ove con $(partialX)/(partialV)=((partialX_1)/(partialV),...,(partialX_n)/(partialV))$ e poi dice che se $V$ è la direzione dell' asse $t_i$ allora $(partialg)/(partialt_i)=
Risposte
shinobi9
shinobi9
15 set 2015, 14:59
Ciao!non so se ho capito bene cosa intendi. Se intendi la "derivata" di una funzione vettoriale di variabile vettoriale..sappi che in realtà si parla di matrice jacobiana...ovvero la matrice che ha per righe i gradienti delle componenti ( essendo di più variabili e di più componenti non puoi parlare di derivata come se hai y=y (x)).un modo per vederla è che ognuna delle n componenti è una funzione reale di k variabili...fai il gradiente di ognuna e le metti in riga su una matrice. Questa è la matrice jacobiana.
Sciarra1
Sciarra1
15 set 2015, 15:13
Ho modificato il post (spero in meglio XD) e credo che tu abbia capito cosa volevo intendere...
shinobi9
shinobi9
15 set 2015, 15:27
Non mi ci trovo molto con la notazione anche perché faccio ingegneria non matematica. Comunque in attesa di risposte migliori ti posso dire che se la tua funzione
g=f(X)è una funzione che va da Rn a R e X=X (T) è una funzione da Rk a Rn allora g= f (X (T)) è una funziine da Rk a R..ovvero è una semplice funzione di più variabili... Per una funzione di più variabili la derivata direzionale non è altro che ovvero prodotto scalare tra il gradiente e il versore..
Sciarra1
Sciarra1
15 set 2015, 15:37
ti ringrazio comunque shinobi
shinobi9
shinobi9
15 set 2015, 15:49
Di niente..solo che leggendo l'ultima cosa che chiedi
..sei sicuro che non sia DXi/Dti e non DX/Dti perche' secondo me componendo f e X (T) hai:
g=f (X (T))=f (X1 (t1..tk)...Xn (t1..tk))=g (t1...tk)

Da cui se derivi rispetto a t1 ad esempio hai:

Dg/Dt1=Df/DX1*DX1/Dt1+...+Df/DXn*DXn/Dt 1 =< gradf,DXi/Dti>

Quindi le derivate del vettore che chiedevi (quelle DX/Dti non servono molto...sarebbero le colonne della matrice jacobiana ma forse è un errore di scrittura del prof o tuo..?)

D=derivata parziale..scrivo da cell..:)
Sciarra1
Sciarra1
15 set 2015, 15:57
probabilmente è la stessa cosa dato che derivando rispetto ai versori l' unica componente della derivata di X diversa da zero è proprio quella con $DX_j/dt_i$ con i=j... Credo
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