Derivata di un versore

[mauro742]

Un saluto a tutti.

Mi sto preparando per l'orale di Fisica I e ho qualche piccola difficoltà
nel comprendere la dimostrazione del calcolo della derivata di un versore,
utilizzata per ricavare le relazioni dell'accelerazione centripeta e
tangenziale nel moto circolare.

La dimostrazione che devo capire si trovata a pagina 10 di questi appunti:
http://www.fisica.uniud.it/~soramel/cin ... punto2.pdf

Le mie domande sono:

1) come è possibile affermare che du è parallelo a u di n?
2) Il differenziale dell'angolo è uguale al rapporto fra i moduli di du e
del versore: perchè?

Vi ringrazio per l'attenzione e spero che mi possiate aiutare.

Mauro

[Bandit1]

Per la prima credo che la risposta sia nel fatto che:
poichè $du_t$ si calcola col metodo "punto-coda", per spostamenti piccolissimi si può considerare cone parallelo a $u_n$


per la seconda, non mi ricordo di preciso, ma + o - è molto vicino, a questa....cmq aspetta anche altri

[mauro742]

Per la seconda io avevo pensato alla trigonometria visto che per piccoli angoli il seno approssima l'angolo stesso...aspetto qualche altra idea...intanto grazie

[Bandit1]

si mi sembra di ricordarla questa cosa...lo si usa anche quando si spiega il pendolo

[mircoFN1]

"mauro742":

1) come è possibile affermare che du è parallelo a u di n?
2) Il differenziale dell'angolo è uguale al rapporto fra i moduli di du e
del versore: perchè?

Vi ringrazio per l'attenzione e spero che mi possiate aiutare.

Mauro

Per la prima domanda, sui tuoi appunti c'è una dimostrazione formale. Se guardi a pag. 10, partendo dal fatto che $u$ è un versore e quindi ha lunghezza unitaria e fissa, viene fatta la derivata (o il differenziale) del prodotto scalare $u*u$ che deve essere zero (una costante ha variazione nulla). Da ciò si ottiene che $u*du=0$ e quindi che i due vettori $u$ e $du$ sono perpendicolari (ricorda la definizione di prodotto scalare).

Per la seconda, tieni conto che $du$ è un vettore infinitesimo perpendicolare a $u$, quindi il rapporto $(du)/u$ esprime a rigore la tangente trigonometrica dell'angolo al vertice di un triangolo rettangolo che ha $u$ e $du$ come cateti, tuttavia, visto che un cateto è infinitesimo, la tangente può essere confusa con l'angolo stesso (in radianti).