Derivata di un valore assoluto

[maxpix]

Buongiorno, vorrei capire come calcolare la derivata di un valore assoluto.
Ad esempio la derivata della funzione $log|x|-sqrt|(x^2-4)|$.

[Luca114]

Ciao, per derivare una funzione col valore assoluto puoi utilizzare la formula:
$D(|f(x)|)=(|f(x)|)/f(x)*f'(x)$

[Bremen000]

Ciao, non si può parlare della funzione derivata del valore assoluto perché è una funzione che in certi intervalli non è derivabile in tutto l'intervallo. Si applica la definizione di valore assoluto e poi si calcola normalmente le derivata negli intervalli in cui il dominio verrà suddiviso; nel tuo esempio:

\begin{equation}
f(x) = \log(|x|) -\sqrt{ |x^2-4|} = \begin{cases} \log(-x)- \sqrt{x^2-4|} , \; x <-2 \\\\ \log(-x)- \sqrt{-x^2+4} , \; -2 \le x <0 \\\\ \log(x)- \sqrt{-x^2+4} , \; 0 < x <2 \\\\ \log(x)- \sqrt{x^2-4} , \; x \ge2 \end{cases}
\end{equation}

e poi nei vari intervalli ti calcoli normalmente le derivate!

[Luca114]

In effetti é sempre meglio andare a colpo sicuro con il metodo che ti ha spiegato Bremen000, poiché come detto la funzione derivata del valore assoluto (che viene dimostrata introducendo la funzione segno) ha quel presupposto fondamentale per essere utilizzata.

Nel caso della semplice funzione $y=|x|$, per esempio, é indifferente usare l'uno o l'altro metodo.

[maxpix]

non penso di aver capito, ad esempio prendiamo il $log(|x|)$ per la formula scritta da Luca il risultato dovrebbe essere $|x|/x$ no? ma è sbagliato in quanto deve essere 1/x

[Bremen000]

Cosa non hai capito? La mia risposta o quella di Luca?
Derivando col secondo metodo:
$
\frac{d}{dx}(\log(\abs{x}))= \frac{1}{\abs{x}} \cdot \frac{abs{x}}{x} = \frac{1}{x}
$

[maxpix]

il primo metodo. da dove viene quel $1/|x|$ non dovrebbe essere $1$ cioè la derivata di $f(x)$ che in questo caso è $x$?
oppure $f(x)$ è uguale a $log(|x|)$

[Luca114]

"maxpix":il primo metodo. da dove viene quel $1/|x|$ non dovrebbe essere $1$ cioè la derivata di $f(x)$ che in questo caso è $x$?
oppure $f(x)$ è uguale a $log(|x|)$

Credo che si debba utilizzare la formula della derivata composta. Alla luce di ciò, tutto dovrebbe tornarti.

[maxpix]

ok, grazie