Derivata di un prodotto infinito (dim.)
Mi sono ricordato di questo intervento di vict85
post701817.html#p701817
Ad un certo punto, nella tesi, ho utilizzato questa proprietà (le varie funzioni sono tutte $C^\infty$)
$\frac{d}{dx}(\prod_(n=1)^\infty f_n (x) )= \sum_(n=1)^\infty [ f'_n (x) \prod_(k=1, k\ne n)^(\infty) f_k (x)]$.
Al che il professore che mi segue mi ha detto "hai controllato se è valida una proprietà del genere?" e io ho risposto che mi sono fidato perché la utilizzano un sacco di dispense in rete (
)... Ovviamente non era la risposta da dare e mi sono corciato le maniche facendo il seguente discorso (mi è venuto un attacco di analisi I):
Allora, $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ e ok.
La suppongo vera per $n=2,...,N$ e voglio dimostrarla per $N+1$ in modo che l'induzione va bene (anche vict85 dice così nel post che ho segnalato, quindi è una conferma a posteriori - perché questo è un fatto di 3-4 giorni fa - di quanto sto dicendo).
Ora pongo $\prod_(n=1)^(N+1) f_n (x) =f_(N+1)\cdot \prod_(n=1)^N f_n (x)$ e mi riconduco al caso "base" della derivata di un prodotto di 2 funzioni dimostrando che la formula vale anche per $N+1$.
[Per ora i calcoli non li posto, se serviranno, ve li posterò.]
Fatto sta che alla fine era decisamente più soddisfatto di questa risposta piuttosto che della precedente, però ha aggiunto "occorre controllare perché secondo me non è solo una questione di induzione"...
Secondo me è ok, quindi chiedo ad altri utenti più esperti se sanno se manca qualcosa o se va bene così.
PS. vict85 dice nell'altro post "immagino che il risultato sia presentato in genere sui libri di analisi". Non l'ho trovato (ho consultato Rudin, Marcellini-Sbordone, Apostol [il "calculus"] e varie dispense), per questo chiedo
. Ovviamente può anche darsi che mi sia sfuggito.
Ciao a tutti
post701817.html#p701817
Ad un certo punto, nella tesi, ho utilizzato questa proprietà (le varie funzioni sono tutte $C^\infty$)
$\frac{d}{dx}(\prod_(n=1)^\infty f_n (x) )= \sum_(n=1)^\infty [ f'_n (x) \prod_(k=1, k\ne n)^(\infty) f_k (x)]$.
Al che il professore che mi segue mi ha detto "hai controllato se è valida una proprietà del genere?" e io ho risposto che mi sono fidato perché la utilizzano un sacco di dispense in rete (

Allora, $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ e ok.
La suppongo vera per $n=2,...,N$ e voglio dimostrarla per $N+1$ in modo che l'induzione va bene (anche vict85 dice così nel post che ho segnalato, quindi è una conferma a posteriori - perché questo è un fatto di 3-4 giorni fa - di quanto sto dicendo).
Ora pongo $\prod_(n=1)^(N+1) f_n (x) =f_(N+1)\cdot \prod_(n=1)^N f_n (x)$ e mi riconduco al caso "base" della derivata di un prodotto di 2 funzioni dimostrando che la formula vale anche per $N+1$.
[Per ora i calcoli non li posto, se serviranno, ve li posterò.]
Fatto sta che alla fine era decisamente più soddisfatto di questa risposta piuttosto che della precedente, però ha aggiunto "occorre controllare perché secondo me non è solo una questione di induzione"...
Secondo me è ok, quindi chiedo ad altri utenti più esperti se sanno se manca qualcosa o se va bene così.
PS. vict85 dice nell'altro post "immagino che il risultato sia presentato in genere sui libri di analisi". Non l'ho trovato (ho consultato Rudin, Marcellini-Sbordone, Apostol [il "calculus"] e varie dispense), per questo chiedo

Ciao a tutti
Risposte
Per la derivata prima di un prodotto, vale la classica regola di derivazione di un prodotto, i.e.:
\[
\left( \prod_{n=0}^N f_n(x)\right)^\prime = \sum_{n=0}^N f_n^\prime (x)\ \prod_{k\neq n} f_k(x)
\]
e probabilmente questa regola si trasporta senza problemi alla derivata del prodotto infinito, sotto opportune ipotesi di convergenza del secondo membro (basterà la convergenza uniforme di qualche cosa...).
Infatti, dato che il prodotto infinito \(\prod f_n(x)\) è convergente, hai \(f_n(x)>0\) per ogni \(x\); inoltre sai che il prodotto infinito è convergente se e solo se la serie \(\sum \log f_n(x)\) converge.
La serie delle derivate di \(\sum \log f_n(x)\) è:
\[
\sum \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}
\]
(cioè la serie delle derivate logaritmiche delle \(f_n\)), quindi se questa serie converge uniformemente allora anche \(\sum \log f_n(x)\) converge uniformemente e vale la formula di derivazione per serie:
\[
\left( \sum_{n=0}^\infty \log f_n(x)\right)^\prime = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}\; .
\]
Allora, dato che:
\[
\begin{split}
\left( \prod_{n=0}^N f_n(x)\right)^\prime &= \sum_{n=0}^N f_n^\prime (x)\ \prod_{k\neq n} f_k(x)\\
&= \sum_{n=0}^N \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}\ \prod_{k=0}^N f_k(x)\\
&=\left(\sum_{n=0}^N \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}\right)\cdot \left(\prod_{k=0}^N f_k(x)\right)
\end{split}
\]
e che entrambi prodotto e serie convergono uniformemente sotto l'ipotesi di convergenza uniforme della serie delle derivate logaritmiche, puoi passare al limite ottenendo:
\[
\begin{split}
\left( \prod_{n=0}^\infty f_n(x)\right)^\prime &=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}\right)\cdot \left(\prod_{k=0}^\infty f_k(x)\right)\\
&= \sum_{n=0}^\infty f_n^\prime (x)\ \prod_{k\neq n} f_k(x)
\end{split}
\]
(con convergenza uniforme).
In mancanza di convergenza uniforme delle derivate logaritmiche non credo si possa dire che la formula vale in generale.
\[
\left( \prod_{n=0}^N f_n(x)\right)^\prime = \sum_{n=0}^N f_n^\prime (x)\ \prod_{k\neq n} f_k(x)
\]
e probabilmente questa regola si trasporta senza problemi alla derivata del prodotto infinito, sotto opportune ipotesi di convergenza del secondo membro (basterà la convergenza uniforme di qualche cosa...).
Infatti, dato che il prodotto infinito \(\prod f_n(x)\) è convergente, hai \(f_n(x)>0\) per ogni \(x\); inoltre sai che il prodotto infinito è convergente se e solo se la serie \(\sum \log f_n(x)\) converge.
La serie delle derivate di \(\sum \log f_n(x)\) è:
\[
\sum \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}
\]
(cioè la serie delle derivate logaritmiche delle \(f_n\)), quindi se questa serie converge uniformemente allora anche \(\sum \log f_n(x)\) converge uniformemente e vale la formula di derivazione per serie:
\[
\left( \sum_{n=0}^\infty \log f_n(x)\right)^\prime = \sum_{n=0}^\infty \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}\; .
\]
Allora, dato che:
\[
\begin{split}
\left( \prod_{n=0}^N f_n(x)\right)^\prime &= \sum_{n=0}^N f_n^\prime (x)\ \prod_{k\neq n} f_k(x)\\
&= \sum_{n=0}^N \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}\ \prod_{k=0}^N f_k(x)\\
&=\left(\sum_{n=0}^N \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}\right)\cdot \left(\prod_{k=0}^N f_k(x)\right)
\end{split}
\]
e che entrambi prodotto e serie convergono uniformemente sotto l'ipotesi di convergenza uniforme della serie delle derivate logaritmiche, puoi passare al limite ottenendo:
\[
\begin{split}
\left( \prod_{n=0}^\infty f_n(x)\right)^\prime &=\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{f_n^\prime (x)}{f_n(x)}\right)\cdot \left(\prod_{k=0}^\infty f_k(x)\right)\\
&= \sum_{n=0}^\infty f_n^\prime (x)\ \prod_{k\neq n} f_k(x)
\end{split}
\]
(con convergenza uniforme).
In mancanza di convergenza uniforme delle derivate logaritmiche non credo si possa dire che la formula vale in generale.
Ciao a te,James B!
Segui,a proposito d'Analisi I,questa follia,
e poi vedi se,sotto la condizione che siano $C^(oo)$ tutti gli elementi della successioni di funzioni della quale calcoli il prodotto infinito
(e qualche altra considerazione aggiuntiva,dato che tanto per iniziare il problema dei segni è "autorisolto" dalla tua hp di convergenza di quella produttoria infinita ma,almeno ad occhio,qualche convergenza uniforme mi pare indispensabile ipotizzarla ..),
riesci a generalizzarla:
$D f(x)h(x)=D(e^t)_(t=log f(x)+log h(x))=(e^t)_(t=log f(x)+ log h(x))*((f'(x))/(f(x))+(h'(x))/(h(x)))=..=h(x)f'(x)+f(x)h'(x)$:
vuol essere solo eventuale spunto di partenza,chiaramente,
anche perché non ho avuto il tempo di formalizzare..
Saluti dal web.
P.S.Gugo tu che hai più confidenza col mezzo tecnico, puoi farmi capire perché non vedo eventuali interventi antecedenti se posto col cellulare?
Cioè,per meglio dire:
se scrivo in breve tempo magari vengono evidenziati,
ma se stò facendo altre cose nel frattempo e ci stò più d'un tot l'unica speranza d'evitare interventi doppioni è che nessuno abbia risposto..
Segui,a proposito d'Analisi I,questa follia,
e poi vedi se,sotto la condizione che siano $C^(oo)$ tutti gli elementi della successioni di funzioni della quale calcoli il prodotto infinito
(e qualche altra considerazione aggiuntiva,dato che tanto per iniziare il problema dei segni è "autorisolto" dalla tua hp di convergenza di quella produttoria infinita ma,almeno ad occhio,qualche convergenza uniforme mi pare indispensabile ipotizzarla ..),
riesci a generalizzarla:
$D f(x)h(x)=D(e^t)_(t=log f(x)+log h(x))=(e^t)_(t=log f(x)+ log h(x))*((f'(x))/(f(x))+(h'(x))/(h(x)))=..=h(x)f'(x)+f(x)h'(x)$:
vuol essere solo eventuale spunto di partenza,chiaramente,
anche perché non ho avuto il tempo di formalizzare..
Saluti dal web.
P.S.Gugo tu che hai più confidenza col mezzo tecnico, puoi farmi capire perché non vedo eventuali interventi antecedenti se posto col cellulare?
Cioè,per meglio dire:
se scrivo in breve tempo magari vengono evidenziati,
ma se stò facendo altre cose nel frattempo e ci stò più d'un tot l'unica speranza d'evitare interventi doppioni è che nessuno abbia risposto..
Nel mio caso, si trattava della
$\zeta(s)=\prod_(p, primo) \frac{1}{1-1/p^s}$
con il prodotto di Eulero che converge uniformemente (per $Re(s)>1$). Quindi deduco (dall'intervento di gugo82) che la "condizione in più" che manca nel caso generale è la convergenza uniforme della produttoria.
Grazie, inoltre, della dimostrazione "enciclopedica".
Forse mi sfugge qualcosa, però trattandosi di funzioni di variabile reale, penso che non ci sia nulla da dimostrare, no? (Sono logaritmo e esponenziale complesso a dare problemi, in quanto non iniettivi).
$\zeta(s)=\prod_(p, primo) \frac{1}{1-1/p^s}$
con il prodotto di Eulero che converge uniformemente (per $Re(s)>1$). Quindi deduco (dall'intervento di gugo82) che la "condizione in più" che manca nel caso generale è la convergenza uniforme della produttoria.
Grazie, inoltre, della dimostrazione "enciclopedica".
"theras":
$D f(x)h(x)=D(e^t)_(t=log f(x)+log h(x))=(e^t)_(t=log f(x)+ log h(x))*((f'(x))/(f(x))+(h'(x))/(h(x)))=..=h(x)f'(x)+f(x)h'(x)$
Forse mi sfugge qualcosa, però trattandosi di funzioni di variabile reale, penso che non ci sia nulla da dimostrare, no? (Sono logaritmo e esponenziale complesso a dare problemi, in quanto non iniettivi).
Per dirla spiccia stavo implicitamente affermando che,
sotto le opportune condizioni che occorrono a renderla formalmente valida,vige la seguente catena di uguaglianze:
$prod_(n=1)^(+oo)f_n(x)=e^(log[prod_(n=1)^(+oo)f_n(x))]=e^(sum_(n=1)^(+oo)log f_n(x))$.
Pertanto,nelle ulteriori ipotesi evidenziate da Gugo,è legittimo scrivere:
$D prod_(n=1)^(+oo)f_n(x)=D(e^t)_(t=sum_(n=1)^(+oo)log f_n(x))=(e^t)_(t=sum_(n=1)^(+oo)log f_n(x))*D(sum_(n=1)^(+oo)log f_n(x))=f_1(x)*f_2(x)..*f_n(x)*f_(n+1)(x)*..*(sum_(n=1)^(+oo)Dlog f_n(x))=$
$=f_1(x)*f_2(x)*..f_n(x)*f_(n+1)(x)*..*[(f'_1(x))/(f_1(x))+(f'_2(x))/(f_2(x))+..+(f'_n(x))/(f_n(x))+(f'_(n+1)(x))/(f_(n+1)(x))+..]=$
$=f'_1(x)f_2(x)*..*f_n(x)*f_(n+1)(x)*...+f_1(x)f'_2(x)*..*f_n(x)*f_(n+1)(x)*..+...+f_1(x)*f_2(x)*...*f'_n(x)*f_(n+1)(x)*...+....$!
Son stato preceduto,ma me ne sono accorto solo dopo aver postato:
mi spiace se la cosa t'ha generato dubbi.
Saluti dal web.
sotto le opportune condizioni che occorrono a renderla formalmente valida,vige la seguente catena di uguaglianze:
$prod_(n=1)^(+oo)f_n(x)=e^(log[prod_(n=1)^(+oo)f_n(x))]=e^(sum_(n=1)^(+oo)log f_n(x))$.
Pertanto,nelle ulteriori ipotesi evidenziate da Gugo,è legittimo scrivere:
$D prod_(n=1)^(+oo)f_n(x)=D(e^t)_(t=sum_(n=1)^(+oo)log f_n(x))=(e^t)_(t=sum_(n=1)^(+oo)log f_n(x))*D(sum_(n=1)^(+oo)log f_n(x))=f_1(x)*f_2(x)..*f_n(x)*f_(n+1)(x)*..*(sum_(n=1)^(+oo)Dlog f_n(x))=$
$=f_1(x)*f_2(x)*..f_n(x)*f_(n+1)(x)*..*[(f'_1(x))/(f_1(x))+(f'_2(x))/(f_2(x))+..+(f'_n(x))/(f_n(x))+(f'_(n+1)(x))/(f_(n+1)(x))+..]=$
$=f'_1(x)f_2(x)*..*f_n(x)*f_(n+1)(x)*...+f_1(x)f'_2(x)*..*f_n(x)*f_(n+1)(x)*..+...+f_1(x)*f_2(x)*...*f'_n(x)*f_(n+1)(x)*...+....$!
Son stato preceduto,ma me ne sono accorto solo dopo aver postato:
mi spiace se la cosa t'ha generato dubbi.
Saluti dal web.
"theras":
mi spiace se la cosa t'ha generato dubbi.
No, niente, è solo che non avevo capito a cosa ti riferissi, non pensavo intendessi dire che era la proprietà dell'esponenziale. Pensavo volessi solo scriverlo in un altro modo.
Ciao