Derivata di un o piccolo
Ciao a tutti!
Sotto quali ipotesi rigorose su una certa funzione $f = o(s)$ posso dire che
$\frac{d}{ds}f = o(1)$?
Sotto quali ipotesi rigorose su una certa funzione $f = o(s)$ posso dire che
$\frac{d}{ds}f = o(1)$?
Risposte
Io userei De L'Hopital: per ipotesi sai che
$\lim_{s\to s_0}\frac{f(s)}{s}=0=$(D.H)$=\lim_{s\to s_0}\frac{f'(s)}{1}\Rightarrow f'(s)=o(1)$ per $s$ vicino a $s_0$.
quindi questo vale sicuramente sotto le ipotesi del teorema, cioè $f$ differenziabile in un intorno di $s_0$.
Paola
$\lim_{s\to s_0}\frac{f(s)}{s}=0=$(D.H)$=\lim_{s\to s_0}\frac{f'(s)}{1}\Rightarrow f'(s)=o(1)$ per $s$ vicino a $s_0$.
quindi questo vale sicuramente sotto le ipotesi del teorema, cioè $f$ differenziabile in un intorno di $s_0$.
Paola
si, ho capito la tua soluzione...ma se ad esempio la mia f fosse di classe $C^2$, e avessi uno sviluppo del tipo
$f(s)=f(0) + f'(0)s + o(s)$, allora l'$o(s)$ sarebbe derivabile con derivata $o(1)$? è questo che non mi torna...
$f(s)=f(0) + f'(0)s + o(s)$, allora l'$o(s)$ sarebbe derivabile con derivata $o(1)$? è questo che non mi torna...
Sì, per i discorsi di quanto sopra applichi De L'H. alle funzioni $f(s)-f(0)-f'(0)s $ e $s$ e vedi che appunto
$f'(s)=f'(0) + o(1)$.
Paola
$f'(s)=f'(0) + o(1)$.
Paola
"prime_number":
Io userei De L'Hopital: per ipotesi sai che
$\lim_{s\to s_0}\frac{f(s)}{s}=0=$(D.H)$=\lim_{s\to s_0}\frac{f'(s)}{1}\Rightarrow f'(s)=o(1)$ per $s$ vicino a $s_0$.
quindi questo vale sicuramente sotto le ipotesi del teorema, cioè $f$ differenziabile in un intorno di $s_0$.
Paola
... però $s_0$ deve essere finito, no?
Perché mi sembra che, se $s_0=+\infty$, allora l'enunciato sia falso: $sin x = o(x)$ per $x \to + \infty$, ma $cos x$ non è infinitesimo per $x \to +\infty$, pur essendo il seno (molto) regolare in un intorno di infinito.
De L'Hopital lo puoi applicare anche con $s_0$ infinito... però direi che il punto focale sta che nell' [url=http://en.wikipedia.org/wiki/L'H%C3%B4pital's_rule#General_form]enunciato del teorema[/url]si richiede che $\lim_{s\to s_0}\frac{f'(s)}{g'(s)}$ esista... e nell'esempio che hai fatto tu non è appunto così.
Invito quindi l'utente DarkSephirot a fare attenzione anche a questo fatto... ma se l'esercizio è specifico possiamo sperare che non sia il suo caso
... oppure che abbia $s_0$ finito (qui lavora intorno a $0$ quindi direi che non ci sono problemi).
Paola
Invito quindi l'utente DarkSephirot a fare attenzione anche a questo fatto... ma se l'esercizio è specifico possiamo sperare che non sia il suo caso
... oppure che abbia $s_0$ finito (qui lavora intorno a $0$ quindi direi che non ci sono problemi).Paola
Giusto, De l'Hopital fornisce solo una C.S. e non necessaria per l'esistenza del limite del rapporto. 
si si, nel mio caso $s \to 0$ dunque nessun problema
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo