Derivata di un integrale lungo una curva chiusa

[Luca2351]

Ciao a tutti.
Sto cercando di dimostrare un teorema di aerodinamica. Il mio testo non riporta la dimostrazione e quello che si trova sul web non mi sembra poi così rigoroso dal punto di vista matematico. Il teorema in questione è il teorema della circolazione di Kelvin che asserisce che per un certo tipo di fluido la circolazione è costante (non è ora importante entrare nel dettaglio del fenomeno da un punto di vista fisico ma è importante almeno capire cosa si debba dimostrare)
La dimostrazione si basa sul fatto di far vedere che la derivata materiale rispetto al tempo della circolazione è nulla per ogni valore del tempo.
Si usa la derivata materiale, spesso indicata come derivata lagrangiana, in quanto la linea chiusa è in realtà formata da particelle di fluido che si muovono con esso.
La circolazione è definita come: 
$ Gamma = oint_(C) vec(V) \cdot vec(ds) $
Integrale lungo una linea chiusa C del vettore velocita, dove ds è un infinitesimo elemento della curva chiusa.
La derivada materiale di $Gamma$ è: 
$ (DGamma) /(Dt)=D/(Dt)oint_(C) vec(V) \cdot vec(ds) $ 
Ora, quello che vedo fare come prossimo passaggio è portare la derivata all' interno dell' integrale e poi, considerare la derivata del prodotto 
$ vec(V) \cdot vec(ds) $
cioè:
$ (DGamma ) /(Dt)=oint_(C) (D(vec(V)\cdot vec(ds) ))/(Dt)= oint_(C)((Dvec(V))/(Dt)\cdot vec(ds)+vec(V)\cdot((Dvec(d)s)/(Dt))) $
Il mio dubbio riguarda il secondo termine dentro l'ultimo passaggio. Quale è il significato di derivare il differenziale della variabile di integrazione? Capisco che trattandosi di una variazione di un delta di spazio per unità di tempo il risultato finale possa essere una variazione di velocita dV. Tuttavia, se il passaggio fosse lecito, sembrerebbe un caso particolare della regola di Leibniz dove anche il differenziale della variabile di integrazione dipende dalla variabile rispetto a cui debba derivare.
Inoltre come si calcolerebbe una tale derivata?
 Spero che qualcuno più esperto possa commentare e chiarire questo ultimo passaggio.
Grazie

[pilloeffe]

Ciao Luca235,

L'operazione di derivazione dell'integrale che hai scritto nel tuo OP secondo me non è lecita.

Secondo la notazione adottata nella meccanica dei fluidi, quando si considera la derivata in un punto si scrive $ \del/(\del t) $, mentre per una derivata osservata seguendo il sistema di fluido si scrive $D/(Dt) $ (derivata sostanziale). Perciò $ \del/(\del t) $ è la derivata nel tempo della densità in un punto e scompare per i fluidi che non dipendono dal tempo. La derivata sostanziale $D/(Dt) $, invece, è la derivata della densità di un sistema termodinamico e non necessariamente scompare per i fluidi che non dipendono dal tempo.
Per capire la differenza fra i due tipi di derivate, si può considerare una particella di fluido che si muove a velocità locale

$\mathbf q = u \mathbf i + v \mathbf j + w \mathbf k = ("d"x)/("d"t) \mathbf i + ("d"y)/("d"t) \mathbf j + ("d"z)/("d"t) \mathbf k $

ed osservare la variazione della proprietà $b = b(x, y, z, t) $
Si può scrivere:

$ ("d"b)/("d"t) = ((\del b)/(\del t)) + ((\del b)/(\del x)) ("d"x)/("d"t) + ((\del b)/(\del y))("d"y)/("d"t) + ((\del b)/(\del z)) ("d"z)/("d"t) = $
$ = (\del b)/(\del t) + u (\del b)/(\del x) + v (\del b)/(\del y) + w (\del b)/(\del z) $

Questo conduce alla definizione di derivata sostanziale, cioè la derivata ottenuta seguendo il movimento del fluido:

$(D b)/(Dt) = (\del b)/(\del t) + u (\del b)/(\del x) + v (\del b)/(\del y) + w (\del b)/(\del z) $

In forma vettoriale si può scrivere:

$(D b)/(Dt) = (\del b)/(\del t) + \mathbf q \cdot \nabla b $

Quindi in termini di operatore:

$(D)/(Dt) = (\del)/(\del t) + \mathbf q \cdot \nabla $

La derivata sostanziale può essere definita anche per una quantità vettoriale $\mathbf A $:

$(D \mathbf A)/(Dt) = (\del \mathbf A)/(\del t) + (\mathbf q \cdot \nabla) \mathbf A $

Quindi in termini di operatore:

$(D)/(Dt) = (\del)/(\del t) + (\mathbf q \cdot \nabla) $

Nel caso particolare in cui $ \mathbf A = \mathbf q $, l'equazione può essere scritta in funzione di comuni operazioni vettoriali, da cui si ottiene per la derivata sostanziale del vettore velocità di una particella di fluido l'espressione seguente:

$(D \mathbf q)/(Dt) = (\del \mathbf q)/(\del t) + 1/2 \nabla (\mathbf q \cdot \nabla \mathbf q) - \mathbf q \times (\nabla \times \mathbf q) $

Quest'ultima equazione in coordinate cartesiane si può scrivere

$(D \mathbf q)/(Dt) = (\del \mathbf q)/(\del t) + u (\del \mathbf q)/(\del x) + v (\del \mathbf q)/(\del y) + w (\del \mathbf q)/(\del z) $