Derivata di un integrale

[Lelouko]

Buonasera, sto avendo qualche problema con questo integrale $ \ int_{0}^{e^(2t)} sqrt(u^2+1) du $, in pratica dovrei derivarlo rispetto $t$, ci provo e ottengo $ sqrt(e^(4t)+1)/2 * 1/2 * (4e^(4t))/(2(sqrt(e^(4t)+1)) $, semplifico il tutto ottenendo $(e^(4t))/2 $, ma non lo so se è giusto, anzi credo che sia sbagliato, perchè alla fine mi serve per calcolare la lunghezza di questa curva: $x(t)= int_{0}^{e^(2t)} sqrt(u^2+1) du , y(t)= sqrt(2)/3 * e^(3t) $, con $t$ che varia da 0 a 1, tuttavia quando vado a fare l'integrale da 0 a 1 della norma del vettore tangente, mi viene un risultato diverso dal libro, quindi mi viene da pensare che io abbia sbagliato a derivare $x(t)$.

[pilloeffe]

Ciao Lelouko,

L'integrale indefinito relativo all'integrale proposto è già stato calcolato, ad esempio qui. Si ha:

$ int \sqrt{u^2 + 1} du = \frac{1}{2}[u \sqrt{u^2 + 1} + \ln (\sqrt{u^2 + 1} + u)] + c = \frac{1}{2}[u \sqrt{u^2 + 1} + \sinh^{- 1}u] + c $

A questo punto ti basta calcolarlo fra $0$ e $e^{2t} $ e poi derivarlo...

[Plepp]

Per calcolare la derivata di quell'integrale, o fai come dice pilloeffe o fai così: posto
\[f(t):=e^{2t},\quad F(x):=\int_0^x \sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u\]
si ha
\[\int_0^{e^{2t}} \sqrt{1+u^2}\,\mathrm{d}u=F(f(t))=:G(t)\]
da cui
\[G'(t)=F'(f(t))f'(t)=2e^{2t}\sqrt{1+e^{4t}}\]
Fossi in te opterei per questo metodo qua

EDIT: @dissonance: pignolo

[dissonance]

@pilloeffe: Giusto, ma così fai molto lavoro inutile, e il metodo è molto fragile perché richiede che tu sappia calcolare una primitiva. Meglio derivare usando la regola della catena: se \[
F(y)=\int_0^y \sqrt{1+u^2}\, du, \]
allora
\[
\frac{d}{dt}(F(e^{2t}))=2e^{2t} \left.\frac{dF}{dy}\right|_{y=e^{2t}}=2 e^{2t}\left. \sqrt{1+y^2}\right|_{y=e^{2t}},\]
eccetera.

@Plepp: Ti sei mangiato un quadrato nella funzione integranda, giusto per segnalazione

[Lelouko]

uh grazie mille ad entrambi! più tardi se ho tempo mi riguardo l'esercizio!