Derivata di $\tanh((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))$..aiuto
Ciao a tutti, ho tra le mani questo esercizio, ma non so come muovermi. Col mio metodo, almeno con la mia idea di risoluzione mi viene molto laborioso. Qualcuno ha qualche idea per calcolare la sua derivata in modo più veloce? Grazie in anticipo.
Calcolare la derivata prima di $\tanh((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))$
ho pensato di risolvere così
siccome $\tanh(x)=(e^(x)-e^(-x))/(e^(x)+e^(-x))$
ho pensato di scrivere $\tanh((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))$ sotto forma di esponenziali e poi farne la derivata prima, ma i calcoli sono decisamente troppo laboriosi..rischiando anche di sbagliare
poi ho pensato siccome $D(\tanh(x))=(1)/(\cosh^2(x))$, ho pensato di fare così ma tutto quello deve essere moltiplicato per la derivata dell'argomento e la derivata di
$D((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))=D(\ln(4x)\cdot(x-3)^(-1/5))=(1)/(x(x-3)^(1/5))-(\ln(4x))/(5(x-3)^(6/5))$
che bo, mi sa di troppi calcoli e sbagliare..
Voi come fareste per calcolare la derivata prima di $f(x)=\tanh((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))$ ? Qualsiasi consiglio è ben accetto!
Calcolare la derivata prima di $\tanh((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))$
ho pensato di risolvere così
siccome $\tanh(x)=(e^(x)-e^(-x))/(e^(x)+e^(-x))$
ho pensato di scrivere $\tanh((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))$ sotto forma di esponenziali e poi farne la derivata prima, ma i calcoli sono decisamente troppo laboriosi..rischiando anche di sbagliare
poi ho pensato siccome $D(\tanh(x))=(1)/(\cosh^2(x))$, ho pensato di fare così ma tutto quello deve essere moltiplicato per la derivata dell'argomento e la derivata di
$D((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))=D(\ln(4x)\cdot(x-3)^(-1/5))=(1)/(x(x-3)^(1/5))-(\ln(4x))/(5(x-3)^(6/5))$
che bo, mi sa di troppi calcoli e sbagliare..
Voi come fareste per calcolare la derivata prima di $f(x)=\tanh((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))$ ? Qualsiasi consiglio è ben accetto!
Risposte
"21zuclo":
[...]
Voi come fareste per calcolare la derivata prima di $f(x)=\tanh((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))$ ? Qualsiasi consiglio è ben accetto!
chinerei la testa e userei la forza bruta. e cioè userei questo approccio:
"21zuclo":
[...]
poi ho pensato siccome $D(\tanh(x))=(1)/(\cosh^2(x))$, ho pensato di fare così ma tutto quello deve essere moltiplicato per la derivata dell'argomento e la derivata di
$D((\ln(4x))/(root(5)(x-3)))=D(\ln(4x)\cdot(x-3)^(-1/5))=(1)/(x(x-3)^(1/5))-(\ln(4x))/(5(x-3)^(6/5))$
[...]
anche perchè non vedo alternative più veloci.
Io mi riscriverei la funzione: per prima cosa osserva che ${\ln(4x)}/{\root[5]{x-3}}=\ln(4x)^{1/{\root[5]{x-3}}}$. Poi si può scrivere $\tanh(z)={e^{2z}-1}/{e^{2z}+1}$. Infine si ha
$e^{2\ln(t)}=e^{\ln t^2}=t^2$
Se ora $t=(4x)^{1/{\root[5]{x-3}}}$ e $z=\ln t$ abbiamo
$D(\tanh(\ln t))=1/{\cosh^2 z}\cdot D(\ln(t))=1/{\cosh^2 z}\cdot 1/t\cdot D(t)$
per cui come vedi si tratta solo di derivare, rispetto ad $x$, la funzione $t$ e di sostituire negli altri due ciò che ti serve.
Ti ricordo che se hai $y=[f(x)]^{g(x)}$ allora
$y'=y[g'(x)\ln(f(x))+{g(x)\cdot f'(x)}/{f(x)}]$
$e^{2\ln(t)}=e^{\ln t^2}=t^2$
Se ora $t=(4x)^{1/{\root[5]{x-3}}}$ e $z=\ln t$ abbiamo
$D(\tanh(\ln t))=1/{\cosh^2 z}\cdot D(\ln(t))=1/{\cosh^2 z}\cdot 1/t\cdot D(t)$
per cui come vedi si tratta solo di derivare, rispetto ad $x$, la funzione $t$ e di sostituire negli altri due ciò che ti serve.
Ti ricordo che se hai $y=[f(x)]^{g(x)}$ allora
$y'=y[g'(x)\ln(f(x))+{g(x)\cdot f'(x)}/{f(x)}]$
oggi ciampa mi sta correggendo su tutto 
sarà che il mio cervello deve ancora accendersi ma, benchè l'approccio che suggerisci sia corretto e, forse, più rapido, io studente probabilmente commetterei molti più errori se tentassi di seguirlo. sostengo questo perchè almeno io non sono abituato a giocare con le funzioni prima di derivarle. chino la testa e via... ^^
sarà che il mio cervello deve ancora accendersi ma, benchè l'approccio che suggerisci sia corretto e, forse, più rapido, io studente probabilmente commetterei molti più errori se tentassi di seguirlo. sostengo questo perchè almeno io non sono abituato a giocare con le funzioni prima di derivarle. chino la testa e via... ^^
Ma no che non ti correggo! 
wow very good ciampax! 
non ci avevo mai pensato di fare queste sostituzioni..
ottimo il tuo metodo..è molto veloce!
lo userò anche prossimamente!..bravo!
non ci avevo mai pensato di fare queste sostituzioni.. ottimo il tuo metodo..è molto veloce!
lo userò anche prossimamente!..bravo!
Bravo... eh sì, so proprio bravo!
grazie cmq
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