Derivata di somma di integrali (per variabili aleatorie continue)
Ciao a tutti, posto nella sezione analisi matematica perchè sicuramente più adatta, sebbene il main argument sia la probabilità.
ho questa cosa:
$ = ct \int_0^t f(x) dx - c \int_0^t xf(x) dx + k \int_t^\infty xf(x) dx - kt \int_t^\infty f(x)dx$
Il valore di t che minimizza $E[C_t(X)]$ (che è questa cosa che ho scritto poco fa) si può ora ottenere attraverso il calcolo elementare. Derivando si ottiene
$d/(dt)E[C_t(X)] = ct f(t) + cF(t) - ct f(t) - kt f(t) + kt f(t) - k[1-F(t)]$
E devo dire che mi lascia perplesso come passaggio.
La prima parte (quella con i c) sono bene o male riuscito a risolverla in questo modo:
$ct\int_0^t f(x) dx - c[xF(x) - \int_0^t F(x) dx] + ...$
$ = ct f(t) + cF(t) - ctf(t) $
E l'ho giustificato dicendo, per il primo termine che f(0) è 0 e quindi non lo scrivo, però per gli altri resto perplesso
la seconda parte invece proprio non riesco a farla saltar fuori...
f(x) è la densità di una variabile aleatoria continua.
Un aiutino?
ho questa cosa:
$ = ct \int_0^t f(x) dx - c \int_0^t xf(x) dx + k \int_t^\infty xf(x) dx - kt \int_t^\infty f(x)dx$
Il valore di t che minimizza $E[C_t(X)]$ (che è questa cosa che ho scritto poco fa) si può ora ottenere attraverso il calcolo elementare. Derivando si ottiene
$d/(dt)E[C_t(X)] = ct f(t) + cF(t) - ct f(t) - kt f(t) + kt f(t) - k[1-F(t)]$
E devo dire che mi lascia perplesso come passaggio.
La prima parte (quella con i c) sono bene o male riuscito a risolverla in questo modo:
$ct\int_0^t f(x) dx - c[xF(x) - \int_0^t F(x) dx] + ...$
$ = ct f(t) + cF(t) - ctf(t) $
E l'ho giustificato dicendo, per il primo termine che f(0) è 0 e quindi non lo scrivo, però per gli altri resto perplesso
la seconda parte invece proprio non riesco a farla saltar fuori...
f(x) è la densità di una variabile aleatoria continua.
Un aiutino?
Risposte
Provo ad aiutarti ma prendi tutto con le pinze e provo a ragionare insieme a te.
Innanzi tutto nota che nel risutato che dovresti ottenere molti pezzi si elidono: dovrebbe rimanere: $cF(t) - k[1 - F(t)]$
Dunque, dato che devi derivare rispetto a $t$ integrali in cui la variabile di derivazione compare negli estremi di integrazione, penso che possa risultarti utile il seguente risultato:
Sia $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ e $f \in C^1(\mathbb{R}^2)$; Siano $\alpha, \beta: (a,b) \to \mathbb{R}$ tali che $\alpha, \beta \in C^1(a,b)$.
Allora la funzione di $t$:
\[
G(t) = \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}{f(x,t)}d{x}
\]
è derivabile e
\[
G'(t) = f(\beta(t),t)\beta'(t)-f(\alpha(t),t)\alpha'(t)+\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}{\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)}d{x}
\]
Inziamo ad applicare questo risultato al primo integrale $I_1(t) = ct\int_0^t f(x)dx$. Quello che dovrebbe saltar fuori è che:
$
I'_1(t) = cint_0^tf(x)dx + ct[f(t) + 0 + int_x^t(\frac{\partial}{\partial t} f(x)dx)] = cint_0^tf(x)dx + ctf(t) = c(F(t)-F(0)) +ctf(t)
$
Passiamo a $I_2(t) = c int_0^txf(x)dx$.
$
I'_2(t) = c[tf(t) -0 -int_0^t0 ] =c tf(t)
$
Per il terzo integrale $I_3(t) = kint_t^{+oo}xf(x)dx$ potremmo provare a procedere in questo modo. Scriviamo l'integrale come limite, portando fuori $k$ che è costante e portiamo la derivata dentro il limite. Quindi applichiamo il risultato precedente:
$
I'_3(t) = k[lim_{y\to+oo} \frac{\partial}{partial t}\int_t^yxf(x)dx] = k \lim_{y\to+oo}[0 - tf(t) + \int_t^y0dx] = -ktf(t)
$
Per l'ultimo integrale procediamo in maniera analoga:
$
I'_4(t) = k lim[\int_t^yf(x)dx + t(f(t) + \int_t^y0dx) ] = k[int_t^{+oo}f(x)dx-tf(t)]
$
Mettiamo insieme i veri pezzi e otteniamo:
$c(F(t)-F(0)) +ctf(t)-ctf(t) - ktf(t) + kint_t^{+oo}f(x)dx + ktf(t) = c(F(t)-F(0)) + kint_t^{+oo}f(x)dx$.
Adesso però ho qualche problema ad arrivare al risultato desiderato, ma penso che qualcosa si possa ricavare e in quache modo penso vadano sfruttate le ipotesi di probabilità. Vedi te se magari da qui ci riesci altrimenti possiamo ragionarci ancora insieme.
Spero di non aver scritto troppe cavolate.
Innanzi tutto nota che nel risutato che dovresti ottenere molti pezzi si elidono: dovrebbe rimanere: $cF(t) - k[1 - F(t)]$
Dunque, dato che devi derivare rispetto a $t$ integrali in cui la variabile di derivazione compare negli estremi di integrazione, penso che possa risultarti utile il seguente risultato:
Sia $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ e $f \in C^1(\mathbb{R}^2)$; Siano $\alpha, \beta: (a,b) \to \mathbb{R}$ tali che $\alpha, \beta \in C^1(a,b)$.
Allora la funzione di $t$:
\[
G(t) = \int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}{f(x,t)}d{x}
\]
è derivabile e
\[
G'(t) = f(\beta(t),t)\beta'(t)-f(\alpha(t),t)\alpha'(t)+\int_{\alpha(t)}^{\beta(t)}{\frac{\partial}{\partial t}f(x,t)}d{x}
\]
Inziamo ad applicare questo risultato al primo integrale $I_1(t) = ct\int_0^t f(x)dx$. Quello che dovrebbe saltar fuori è che:
$
I'_1(t) = cint_0^tf(x)dx + ct[f(t) + 0 + int_x^t(\frac{\partial}{\partial t} f(x)dx)] = cint_0^tf(x)dx + ctf(t) = c(F(t)-F(0)) +ctf(t)
$
Passiamo a $I_2(t) = c int_0^txf(x)dx$.
$
I'_2(t) = c[tf(t) -0 -int_0^t0 ] =c tf(t)
$
Per il terzo integrale $I_3(t) = kint_t^{+oo}xf(x)dx$ potremmo provare a procedere in questo modo. Scriviamo l'integrale come limite, portando fuori $k$ che è costante e portiamo la derivata dentro il limite. Quindi applichiamo il risultato precedente:
$
I'_3(t) = k[lim_{y\to+oo} \frac{\partial}{partial t}\int_t^yxf(x)dx] = k \lim_{y\to+oo}[0 - tf(t) + \int_t^y0dx] = -ktf(t)
$
Per l'ultimo integrale procediamo in maniera analoga:
$
I'_4(t) = k lim[\int_t^yf(x)dx + t(f(t) + \int_t^y0dx) ] = k[int_t^{+oo}f(x)dx-tf(t)]
$
Mettiamo insieme i veri pezzi e otteniamo:
$c(F(t)-F(0)) +ctf(t)-ctf(t) - ktf(t) + kint_t^{+oo}f(x)dx + ktf(t) = c(F(t)-F(0)) + kint_t^{+oo}f(x)dx$.
Adesso però ho qualche problema ad arrivare al risultato desiderato, ma penso che qualcosa si possa ricavare e in quache modo penso vadano sfruttate le ipotesi di probabilità. Vedi te se magari da qui ci riesci altrimenti possiamo ragionarci ancora insieme.
Spero di non aver scritto troppe cavolate.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo