Derivata di Radon-Nikodym

[Bochum11]

Ciao a tutti!
Mi sono imbattuta nel seguente esercizio:

Siano $\mu$ e $\nu$ due misure equivalenti. Mostrare che entrambe le derivate di Radon-Nikodym, chiamate rispettivamente $X:=\frac{d\mu}{d\nu}$ e $Y:=\frac{d\nu}{d\mu}$, sono positive quasi certamente (rispetto a quale misura?) e che $X=\frac{1}{Y}$ quasi certamente (rispetto a quale misura?).

Innanzitutto ho detto che:
$\frac{d\mu}{d\nu}>=0 \qquad\nu-q.c. \hArr \nu\(\{\frac{d\mu}{d\nu}<0\}\)=0 \hArr \mu\(\{\frac{d\mu}{d\nu}<0\}\)=0 \quad$in quanto $\mu < < \nu $
$ \hArr \frac{d\mu}{d\nu}>=0 \qquad \mu-q.c. $
Quindi la risposta alla prima "Rispetto a quale misura?" credo che sia: rispetto ad entrambe.
Ora però sorge un problema... Penso di essermi persa qualcosa di importante nella dimostrazione vera e propria richiesta, perchè quello che ho scritto (e che riporto sotto) mi sembra troppo povero, se non addirittura falso.
Prendo $A\in\mathcal{A}$. $ 0<= \mu(A) = \int \chi_A d\mu = \int \chi_A \frac{d\mu}{d\nu} d\nu $ dove la prima uguaglianza è semplicemente la definizione di misura e la seconda è la definizione di densità di $\mu$ rispetto a $\nu$. Poichè la funzione indicatrice è positiva, allora ho anche che $\frac{d\mu}{d\nu}>= 0 \qquad \nu-q.c.$.
Cosa mi sto perdendo?
Grazie anticipatamente dell'aiuto!

[Rigel1]

Ciò che hai scritto nell'ultima parte mi sembra corretto.
Cosa non ti torna?

[Bochum11]

In realtà non avevo idea se e dove ci fossero errori, ma mi sembrava troppo "semplice". Se però mi dici che funziona, proseguo nella dimostrazione della seconda parte.
Se avrò dei dubbi, proseguirò questo argomento.