Derivata di Lie

[Sk_Anonymous]

Sia $X:M\toTM$ un campo vettoriale e sia $f:M\toRR$ una funzione. La relativa derivata di Lie è:

$L_{X}f=X^i(partial f)/(partial q_i)$

dove sottointendo il simbolo di sommatoria e $(\partial)/(\partial q_i)$ è una base di $M$.
Devo dimostrare che la definizone è ben posta, cioè che la derivata di Lie non dipende dalla particolare base $(\partial)/(\partial q_i)$ scelta. Qualche idea?

[Eredir]

Scriviamo il campo vettoriale in due basi differenti $X = X^i \partial / (\partial x^i) = Y^i \partial / (\partial y^i)$, dove le coordinate ed i vettori di base sono legati dalle relazioni $Y^i = (\partial y^i) / (\partial x^j) X^j$ e $\partial / (\partial y^i) = (\partial x^j) / (\partial y^i) \partial / (\partial x^j)$.
Allora $L_X f = X(f) = Y^i (\partial f) / (\partial y^i) = (\partial y^i) / (\partial x^j) X^j (\partial x^j) / (\partial y^i) (\partial f) / (\partial x^j) = X^j (\partial f) / (\partial x^j)$ e quindi non dipende dalla scelta della base.

[Nullissi]

Sapete invece come posso dimostrare che [tex][X,Y] = XY - YX = X^j (\partial Y^k)/ (\partial q^j)(\partial)/ (\partial q^k) - Y^j(\partial X^k)/ (\partial q^j)(\partial)/ (\partial q^k)[/tex] sia una derivazione? Forse è più una domanda di geometria differenziale ma era collegata alla precedente..

[dissonance]

E' una domanda più da geometria, si... Vabbè, comunque si tratta di fare il conto. Applica $[X, Y]$ al prodotto di due funzioni $C^infty$, al termine di una noiosissima sfilza di calcoli si semplificheranno alcuni fattori lasciandoti con $[X,Y](fg)=f[X, Y]g+g[X, Y]f$.

[Nullissi]

Scusami ma cosa si semplifica? Non so se ho fatto bene ma io ho:
[tex]\displaystyle X^j \frac { \partial Y^k}{ \partial x^j} \frac { f}{ \partial x^k} g + X^j \frac { \partial Y^k}{ \partial x^j} \frac { g}{ \partial x^k} f - Y^j \frac { \partial X^k}{ \partial x^j} \frac { f}{ \partial x^k} g - Y^j \frac { \partial X^k}{ \partial x^j} \frac {g}{ \partial x^k} f[/tex]. Cosa devo fare?

[dissonance]

Noo, ti prego, non far fare a me quel conto pallosissimo. Ragiona su $[X, Y](fg)=X(Y(fg))-Y(X(fg))$; applica la regola di Leibnitz a oltranza e vedi che succede.