Derivata di integrale (n+1)-dimensionale
Ho difficoltà con una derivata... Non riesco a ricostruire i passaggi che conducono al risultato finale.
Sia [tex]u:\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R}[/tex] una funzione liscia e per [tex]c>0[/tex] si definisca la funzione:
[tex]\displaystyle \phi(c)=\frac{1}{c^{n/2}}\int_{\Omega(c)} u(x,t)\frac{|x|^2}{t^2}dx dt[/tex]
dove [tex](x,t)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}[/tex] e
$\Omega(c)=\{ (x,t): -c
Si vuole derivare la funzione [tex]\phi[/tex]:
[tex]\phi'(c)=\displaystyle -\frac{n}{2}\frac{1}{c^{1+n/2}}\int_{\Omega(c)}u(x,t)\frac{|x|^2}{t^2}dx dt +\frac{1}{c^{n/2}}\int_{-c}^0\Big(\int_{|x|=R_c(t)}u(x,t)\frac{|x|^2}{t^2} dH^{n-1}\Big)\frac{\partial R_c(t)}{\partial c}dt[/tex]
dove [tex]H^{n-1}[/tex] è la misura di Hausdorff [tex](n-1)[/tex]-dimensionale.
Sono confusa dal secondo termine. Quali teoremi usa per arrivare lì? Stokes? Se è così non vedo bene come... e non capisco da dove spuntino quell'ultima derivata parziale e la misura di Hausdorff.
Se qualcuno potesse illuminarmi un po' nel dettaglio sarei molto grata.
Ciao,
Paola
Sia [tex]u:\mathbb{R}^{n+1}\to\mathbb{R}[/tex] una funzione liscia e per [tex]c>0[/tex] si definisca la funzione:
[tex]\displaystyle \phi(c)=\frac{1}{c^{n/2}}\int_{\Omega(c)} u(x,t)\frac{|x|^2}{t^2}dx dt[/tex]
dove [tex](x,t)\in\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}[/tex] e
$\Omega(c)=\{ (x,t): -c
Si vuole derivare la funzione [tex]\phi[/tex]:
[tex]\phi'(c)=\displaystyle -\frac{n}{2}\frac{1}{c^{1+n/2}}\int_{\Omega(c)}u(x,t)\frac{|x|^2}{t^2}dx dt +\frac{1}{c^{n/2}}\int_{-c}^0\Big(\int_{|x|=R_c(t)}u(x,t)\frac{|x|^2}{t^2} dH^{n-1}\Big)\frac{\partial R_c(t)}{\partial c}dt[/tex]
dove [tex]H^{n-1}[/tex] è la misura di Hausdorff [tex](n-1)[/tex]-dimensionale.
Sono confusa dal secondo termine. Quali teoremi usa per arrivare lì? Stokes? Se è così non vedo bene come... e non capisco da dove spuntino quell'ultima derivata parziale e la misura di Hausdorff.
Se qualcuno potesse illuminarmi un po' nel dettaglio sarei molto grata.
Ciao,
Paola
Risposte
Mi sembra si tratti di una "shape derivative" (anche se in questo caso probabilmente si può fare "a mano").
Trovi dettagli sul libro di Delfour e Zolesio (con un titolo del tipo "Shapes and Geometries...").
Trovi dettagli sul libro di Delfour e Zolesio (con un titolo del tipo "Shapes and Geometries...").
@prime_number: Qualcosa che riguarda la proprietà di media per le soluzioni dell'equazione del calore, scommetto.
Ad ogni modo, visto che \(\Omega(c)\) sembra "quasi" un cilindro, hai provato a passare in coordinate cilindriche ed a fare qualche sostituzione per eliminare \(c\) dagli estremi d'integrazione?
Ad ogni modo, visto che \(\Omega(c)\) sembra "quasi" un cilindro, hai provato a passare in coordinate cilindriche ed a fare qualche sostituzione per eliminare \(c\) dagli estremi d'integrazione?
Esatto, sto lavorando nell'ambito dell'operatore del calore.
Scusate, ma io proprio non ho capito nessuna delle vostre risposte.
Ho scaricato il libro che mi hai indicato, Rigel, solo che non mi è utile perché certo non ho tempo di mettermi a esplorarlo tutto nella speranza di capire quale parte mi possa essere utile.
@dissonance: ci ho pensato a lungo, ma proprio non capisco come pensavi di applicare la formula di coarea, se puoi farmelo vedere magari... sono un po' perplessa, perché lì integri in n dimensioni e ti esce una misura di Hausdorff n-1 dimensionale... a me invece da n+1 va a n-1, quindi "cala" di 2.
@gugo: ho tirato fuori le sconosciutissime coordinate ipersferiche ma non sono arrivata da nessuna parte sinceramente, forse non ho nemmeno capito cosa vuoi dire.
Paola
Scusate, ma io proprio non ho capito nessuna delle vostre risposte.
Ho scaricato il libro che mi hai indicato, Rigel, solo che non mi è utile perché certo non ho tempo di mettermi a esplorarlo tutto nella speranza di capire quale parte mi possa essere utile.
@dissonance: ci ho pensato a lungo, ma proprio non capisco come pensavi di applicare la formula di coarea, se puoi farmelo vedere magari... sono un po' perplessa, perché lì integri in n dimensioni e ti esce una misura di Hausdorff n-1 dimensionale... a me invece da n+1 va a n-1, quindi "cala" di 2.
@gugo: ho tirato fuori le sconosciutissime coordinate ipersferiche ma non sono arrivata da nessuna parte sinceramente, forse non ho nemmeno capito cosa vuoi dire.
Paola
Up.
Paola
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