Derivata di Integrale definito.
Ragazzi ho un problema:
In un esercizio che non sto a proporvi occorre (per arrivare alla soluzione) trovare tra le altre cose la derivata di un integrale definito di questo tipo:
[integrale da 3x a x^2](f(t)dt)
...spero sia chiaro quello che ho scritto... se non lo è posto un'immagine.
Quello che pensavo io è: la derivata di un integrale è l'argomento dell'integrale... ...ma pare che per integrali definiti non sia così semplice.
Un mio amico è andato a ricevimento dalla prof che gli ha detto che quando l'integrale è definito e ha come "apice" una funzione composta (e anche qui non ho capito cosa intendeva con composta) la sua derivata è l'argomento dell'integrale moltiplicata per la derivata dell'apice. Nel nostro caso sarebbe:
f(t)*2x
Purtroppo questo mio amico non ci ha capito molto di quello che gli ha detto la prof, quindi non sa darmi delucidazioni.
Vi prego aiutatemi voi. Sono ben accette anche supposizioni su quello che il mio amico ha cercato di dirmi con parole sue.
In un esercizio che non sto a proporvi occorre (per arrivare alla soluzione) trovare tra le altre cose la derivata di un integrale definito di questo tipo:
[integrale da 3x a x^2](f(t)dt)
...spero sia chiaro quello che ho scritto... se non lo è posto un'immagine.
Quello che pensavo io è: la derivata di un integrale è l'argomento dell'integrale... ...ma pare che per integrali definiti non sia così semplice.
Un mio amico è andato a ricevimento dalla prof che gli ha detto che quando l'integrale è definito e ha come "apice" una funzione composta (e anche qui non ho capito cosa intendeva con composta) la sua derivata è l'argomento dell'integrale moltiplicata per la derivata dell'apice. Nel nostro caso sarebbe:
f(t)*2x
Purtroppo questo mio amico non ci ha capito molto di quello che gli ha detto la prof, quindi non sa darmi delucidazioni.
Vi prego aiutatemi voi. Sono ben accette anche supposizioni su quello che il mio amico ha cercato di dirmi con parole sue.
Risposte
[IMG=left]http://img84.imageshack.us/img84/8452/uno6hs.jpg[/IMG=left]
*** EDIT ***
Si ho fatto un po' di casino nel fare qualche esperimento con le immagini...
*** EDIT ***
Si ho fatto un po' di casino nel fare qualche esperimento con le immagini...
Sia F(t) una primitiva di f(t). Allora:
integrale tra 3x e x^2 di f(t) dt = F(x^2) - F(3x)
Perciò dobbiamo calcolare la derivata di questa
differenza di funzioni, che come puoi vedere sono
due funzioni composte. La derivata di f(g(x)) è uguale
a f'(g(x))*g'(x), perciò la derivata, in questo caso,
sarà 2x*f(x^2) - 3f(3x)
integrale tra 3x e x^2 di f(t) dt = F(x^2) - F(3x)
Perciò dobbiamo calcolare la derivata di questa
differenza di funzioni, che come puoi vedere sono
due funzioni composte. La derivata di f(g(x)) è uguale
a f'(g(x))*g'(x), perciò la derivata, in questo caso,
sarà 2x*f(x^2) - 3f(3x)
fireball, oggi mi sono messo a rifare l'esercizio e guardacaso l'ho rifatto proprio come hai detto tu.
Quindi quella cosa che mi ha detto il mio compagno è una m.....ata.
Ovvero che in questi casi devi fare:
(argomento dell'integrale)*(derivata dell'apice dell'integrale)
...è lui che non ha capito una ceppa?
Anche perchè detta così per me non ha senso.
Quindi quella cosa che mi ha detto il mio compagno è una m.....ata.
Ovvero che in questi casi devi fare:
(argomento dell'integrale)*(derivata dell'apice dell'integrale)
...è lui che non ha capito una ceppa?
Anche perchè detta così per me non ha senso.
Secondo me, per calcolare la derivata di funzioni
di questo tipo, la chiave sta nell'esprimere l'integrale
definito (che in questo caso ha gli estremi d'integrazione
variabili, e quindi è una FUNZIONE integrale) come differenza
tra i valori assunti dalla primitiva, indicata con F(x), negli estremi
di integrazione. Poi si deriva.
di questo tipo, la chiave sta nell'esprimere l'integrale
definito (che in questo caso ha gli estremi d'integrazione
variabili, e quindi è una FUNZIONE integrale) come differenza
tra i valori assunti dalla primitiva, indicata con F(x), negli estremi
di integrazione. Poi si deriva.
Ciao! a me viene la stessa soluzione di david_e, che si ottiene come dice fireball derivando la forma esplicita dell'integrale definito! quella del tuo amico non riesco a farla saltar fuori neanche con la forza!
fireball, non ti sei dimenticato un coseno nel sottraendo?
Eh sì... Solita distrazione... Correggo subito.
Ok.
A questo punto credo di essere costretto a postare l’esercizio per intero perchè non riesco a risolverlo:
“Scrivere la formula di Taylor arrestata al secondo ordine con centro in 2 della seguente funzione:”
qui vedete la funzione:
http://img346.imageshack.us/img346/2748 ... ale0ac.gif
NOTA 1: è chiaro che essendo centrato in due avremo che, essendo un integrale definito da 2x a x^2, il risultato sarà 0. Il fatto è che io comunque devo prima scrivere il polinomio di taylor con tanto di derivata prima e seconda e poi far vedere che il risultato è 0.
NOTA 2: il calcolo dell’integrale INdefinito non mettetevi a farlo perchè da quello che so non è fattibile se non tramite una approssimazione con Taylor e questo implica che non è il modo in cui dovrei risolvere l’esercizio (so per certo che la prof non la risolto in questo modo).
A questo punto credo di essere costretto a postare l’esercizio per intero perchè non riesco a risolverlo:
“Scrivere la formula di Taylor arrestata al secondo ordine con centro in 2 della seguente funzione:”
qui vedete la funzione:
http://img346.imageshack.us/img346/2748 ... ale0ac.gif
NOTA 1: è chiaro che essendo centrato in due avremo che, essendo un integrale definito da 2x a x^2, il risultato sarà 0. Il fatto è che io comunque devo prima scrivere il polinomio di taylor con tanto di derivata prima e seconda e poi far vedere che il risultato è 0.
NOTA 2: il calcolo dell’integrale INdefinito non mettetevi a farlo perchè da quello che so non è fattibile se non tramite una approssimazione con Taylor e questo implica che non è il modo in cui dovrei risolvere l’esercizio (so per certo che la prof non la risolto in questo modo).
Il ragionamento di Fireball e' quello giusto, tuttavia voglio mettervi in guardia dallo scrivere:
f(x) = int[ a(x) ; b(x)] g(x) dx
Con la variabile di integrazione ancora x: se facciamo la derivata rispetto a x di f allora abbiamo che a rigore dovremmo portare il segno di derivata anche dentro l'integrale! Qui la x all'interno dell'integrale NON e' una variabile "muta"! La x deve essere riservata alla variabile VERA della funzione f(x) (la x dentro l'integrale non ha il ruolo di variabile a meno che non sia un parametro di g_x(t) se questa viene integrata in dt) (nel caso del mio post la vera varibile e' t x e' solo la varibile di integrazione e la funzione integrale NON dipende da x).
f(x) = int[ a(x) ; b(x)] g(x) dx
Con la variabile di integrazione ancora x: se facciamo la derivata rispetto a x di f allora abbiamo che a rigore dovremmo portare il segno di derivata anche dentro l'integrale! Qui la x all'interno dell'integrale NON e' una variabile "muta"! La x deve essere riservata alla variabile VERA della funzione f(x) (la x dentro l'integrale non ha il ruolo di variabile a meno che non sia un parametro di g_x(t) se questa viene integrata in dt) (nel caso del mio post la vera varibile e' t x e' solo la varibile di integrazione e la funzione integrale NON dipende da x).
Quello che dici è giusto...
...ma ancora non so risolvere l'esercizio di 2 post più sopra.
...ma ancora non so risolvere l'esercizio di 2 post più sopra.
Ciao!
La derivata dell'integrale definito dovrebbe venire:
2x(x^2 -2)*e^(cos(pi*x^2)) - 4(x-1)*e^(cos(2pix))
La derivata dell'integrale definito dovrebbe venire:
2x(x^2 -2)*e^(cos(pi*x^2)) - 4(x-1)*e^(cos(2pix))
Bisogna calcolare derivata prima e seconda nel punto 2 e poi mettere i soliti incrementi. (f(2)=0 perche' e' l'integrale fra 4 e 4)
Viene:
4*e*(x-2)+8*e*(x-2)^2
(i conti non li ho fatti a mano per cui dovrebbero essere giusti)
Viene:
4*e*(x-2)+8*e*(x-2)^2
(i conti non li ho fatti a mano per cui dovrebbero essere giusti)
Ragazzi ho trovato la risposta alle mie domande!!!
Si, voi avete dato delle risposte giuste ma per risolvere l'esercizio, voi avete risolto l'integrale definito calcolando la primitiva (e bla bla bla) e poi avete fatto la derivata di quello che avete trovato.
Tutto giusto per carità.
Solo mi chiedo come avete fatto a trovare la primitiva di quella funzione perchè io non l'ho ancora capito (e se me lo dite mi fate un favore)
Comunque oggi ho scoperto che dal teorema fondamentale del calcolo integrale, si ricava questo:
http://img387.imageshack.us/img387/3619 ... ale5wu.gif
...che è sostanzialmente quello che il mio amico aveva cercato di dirmi (anche se era stato impreciso).
Questa formula permette di trovare la derivata di qualsiasi integrale definito in un lampo!
Ora vorrei sapere come avete fatto voi a trovare la primitiva della funzione che stava come argomento all’integrale perchè secondo me è difficilissimo! ...e sono contento di aver capito oggi che non serviva!
Ciao e grazie di tutto!
Si, voi avete dato delle risposte giuste ma per risolvere l'esercizio, voi avete risolto l'integrale definito calcolando la primitiva (e bla bla bla) e poi avete fatto la derivata di quello che avete trovato.
Tutto giusto per carità.
Solo mi chiedo come avete fatto a trovare la primitiva di quella funzione perchè io non l'ho ancora capito (e se me lo dite mi fate un favore)
Comunque oggi ho scoperto che dal teorema fondamentale del calcolo integrale, si ricava questo:
http://img387.imageshack.us/img387/3619 ... ale5wu.gif
...che è sostanzialmente quello che il mio amico aveva cercato di dirmi (anche se era stato impreciso).
Questa formula permette di trovare la derivata di qualsiasi integrale definito in un lampo!
Ora vorrei sapere come avete fatto voi a trovare la primitiva della funzione che stava come argomento all’integrale perchè secondo me è difficilissimo! ...e sono contento di aver capito oggi che non serviva!
Ciao e grazie di tutto!
Spero che tu abbia capito anche PERCHE' quella formula è valida,
oltre che come utilizzarla. Comunque, io la primitiva non l'ho calcolata!
Riguarda questo esempio:
oltre che come utilizzarla. Comunque, io la primitiva non l'ho calcolata!
Riguarda questo esempio:
Beh e' un caso particolare di quello che ho postato io...
Poi comunque usando il "metodo di fireball" (nel senso che lo ha postato lui [:)]) non occorre conoscere la primitiva della funzione, ma solo sapere che esiste e dargli un nome tipo f(x). Poi dopo aver svolto i conti compaiono solo termini conteneti f'(x) (ovvero la funzione dentro l'integrale)...
Poi comunque usando il "metodo di fireball" (nel senso che lo ha postato lui [:)]) non occorre conoscere la primitiva della funzione, ma solo sapere che esiste e dargli un nome tipo f(x). Poi dopo aver svolto i conti compaiono solo termini conteneti f'(x) (ovvero la funzione dentro l'integrale)...
Ops scusa fireball non avevo visto che avevi gia' risposto...
Non devi assolutamente scusarti, capita spessissimo di postare insieme! [:)]
E' vero fireball!
Riguardando il tuo esempio ala fine mi accorgo che la formula che ho dato ora io compare praticamente anche nell'esempio che hai fatto tu!
Ancora non ho capito perchè sta formula è valida... ...ma devo ancora studiare bene!
Riguardando il tuo esempio ala fine mi accorgo che la formula che ho dato ora io compare praticamente anche nell'esempio che hai fatto tu!
Ancora non ho capito perchè sta formula è valida... ...ma devo ancora studiare bene!
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