Derivata di integrale definito

[Webster]

Vorrei chiedervi di togliermi un dubbio. Secondo voi è corretto scrivere $d/(d alpha) int_a^b alpha (x) beta (x) dx = int_a^b beta (x) dx$ dove $alpha$ e $beta$ sono due funzioni su $[a,b]$ ?

[mazzarri1]

Ciao Webster

Direi proprio di no...

Prova a considerare

$alpha(x)=x$

$beta(x)=sin(x)$

E l intervallo $(0,pi)$

Risolvilo per parti... viene se i calcoli mi assisitono... $pi$

Vedi anche tu che quello che scrivi nn ha senso. L integrale definito e un numero se fai la derivata viene zero sempre...

Che senso ha poi scrivere

$d/(d alpha)$ ?

Forse volevi dire

$d/(dx)$ ?

[Webster]

In realtà penso che l'integrale da me scritto possa essere visto come un funzionale $I(beta)=int_a^b beta(x)alpha(x) dx$. Quindi credo sia sensato scrivere $d/(d alpha) int_a^b beta(x)alpha(x) dx = d/(d alpha) I(beta)$.

[mazzarri1]

Chiedo scusa continuo a non capire. E un integrale definito quindi e un numero. Se lo derivi fa zero.
Ma forse e un problema mio di comprensione. Lascio ad altri miglior risposta

[gugo82]

Il problema è l'interpretazione del simbolo \(\frac{\text{d}}{\text{d} \alpha}\).

Se esso indica la derivata usuale (cioè quella di Analisi I), è evidente che tale operatore non può essere applicato all'espressione \(\int_a^b \alpha (x) \beta (x)\text{d} x\) senza dare risultato nullo.

D'altra parte, tale simbolo potrebbe denotare una derivata alla Gateaux \(\text{d}_\alpha \operatorname{I} [\cdot]\) oppure un differenziale di Frechet \(D_\alpha\operatorname{I}[\cdot ]\) nello spazio funzionale in cui "vive" \(\alpha\) e, con tale interpretazione, il simbolo potrebbe essere applicato all'integrale producendo risultato non nullo.

Per esempio, supponiamo che \(\alpha , \beta \in C([a,b])\) (ma andrebbe bene anche \(\alpha \in L^p(a,b)\) e \(\beta \in L^{p^\prime} (a,b)\)) e fissiamo una qualsiasi funzione \(\phi \in C_c^\infty (]a,b[)\): evidentemente per ogni \(t\in \mathbb{R}\) la funzione \(\alpha +t\cdot \phi\) è ancora in \(C([a,b])\) e perciò ha senso calcolare (seguendo la tua notazione, con una piccola modifica):
\[
\operatorname{I}[\alpha +t\cdot \phi] = \int_a^b \big(\alpha (x) +t\cdot \phi (x)\big) \beta (x)\ \text{d} x\; .
\]
Fissate che siano \(\alpha\), \(\beta\) e \(\phi\), si può quindi istitutire la funzione:
\[
i: \mathbb{R}\ni t\mapsto \operatorname{I}[\alpha +t\cdot \phi ] \in \mathbb{R}
\]
e, formandone il rapporto incrementale, si può provare a calcolarne la derivata in \(t_0=0\). Abbiamo:
\[
\begin{split}
\frac{i(t) - i(0)}{t-0} &= \frac{1}{t}\left( \int_a^b \big(\alpha (x) + t\cdot \phi (x) \big) \beta (x)\ \text{d}x - \int_a^b \alpha (x)\beta (x)\ \text{d} x\right)\\
&= \frac{1}{\cancel{t}}\ \int_a^b \cancel{t}\cdot \phi(x)\beta (x)\ \text{d} x\\
&= \int_a^b \phi (x) \beta (x)\ \text{d} x
\end{split}
\]
e dunque:
\[
i^\prime (0) = \lim_{t\to 0} \frac{i(t) - i(0)}{t-0} = \int_a^b \phi (x) \beta (x)\ \text{d} x\; .
\]
Per definizione, dunque, il funzionale \(\operatorname{I}[\cdot]\) è derivabile à la Gateaux in \(\alpha\) e la sua derivata secondo la direzione \(\phi\) nel punto \(\alpha\)[nota]La terminologia non è scelta a caso: infatti, la derivata di Gateaux è una generalizzazione della derivata direzionale che si incontra in Analisi II in contesto finito-dimensionale.[/nota] è data da:
\[
\text{d}_\alpha \operatorname{I} [\phi] = \operatorname{I}[\phi] = \int_a^b \phi (x)\beta (x)\ \text{d} x\; .
\]
Discorso analogo se si considera il differenziale di Frechet del funzionale \(\operatorname{I}\): invero per ogni incremento non identicamente nullo \(\phi \in C_c([a,b])\) della funzione \(\alpha\) si ha:
\[
\frac{\operatorname{I} [\alpha +\phi] - \operatorname{I} [\alpha] - \operatorname{I}[\phi]}{\| \phi \|_\infty} = 0
\]
e perciò:
\[
\lim_{\| \phi\|_\infty \to 0} \frac{\big| \operatorname{I} [\alpha +\phi] - \operatorname{I} [\alpha] - \operatorname{I}[\phi] \big|}{\|\|_\infty} = 0\; .
\]
Dunque \(\operatorame{I}[\cdot]\) è differenziabile à la Frechet in ogni punto \(\alpha\) ed il suo differenziale in \(\alpha\) coincide con \(\operatorname{I}[\cdot ]\) stesso[nota]Ciò non stupisce: infatti \(\operatorname{I}\) è un funzionale lineare continuo e, come accade in contesto finito-dimensionale, esso è differenziabile ed il suo differenziale coincide necessariamente col funzionale stesso.[/nota], cioè:
\[
D_\alpha \operatorname{I} = \operatorname{I}\; .
\]

Secondo tali interpretazioni si ha:
\[
\text{d}_\alpha \operatorname{I} [\cdot ] = \operatorname{I}[\cdot ]
\]
oppure:
\[
D_\alpha \operatorname{I} = \operatorname{I}
\]
e dunque nemmeno in questo caso il risultato proposto dall'OP è valido.