Derivata di funzioni convesse

[gugo82]

Domanda stupida, ma non mi viene una dimostrazione...

Se ho una funzione con la derivata prima definita e crescente in un intervallo non banale, come faccio a provare che la funzione è convessa?

Per completezza aggiungo che uso la definizione di funzione convessa con la disuguaglianza di convessità.

[pilloeffe]

Ciao gugo82,

Ci provo...

Per due punti qualsiasi $x_1 $ e $ x_2 > x_1 $ di un certo intervallo $[a, b] $ il punto $x_m = frac{x_1 + x_2}{2} \in [a, b] $
Per lo sviluppo di Taylor si ha:

$f(x_1) = f(x_m) + (x_1 - x_m)f'(\xi_1) $

ove $ x_1 < \xi_1 < x_m $. D'altronde si ha anche

$f(x_2) = f(x_m) + (x_2 - x_m)f'(\xi_2) $

ove $ x_m < \xi_2 < x_2 $. Sommando membro a membro e dividendo per $2 $ si ottiene:

$frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} = f(frac{x_1 + x_2}{2}) + frac{x_2 - x_1}{4}[f'(\xi_2) - f'(\xi_1)]$

cioè

$frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} - f(frac{x_1 + x_2}{2}) = frac{x_2 - x_1}{4}[f'(\xi_2) - f'(\xi_1)]$

Se il secondo membro di quest'ultima equazione è $\ge 0 $, cioè se $ f'(\xi_2) - f'(\xi_1) \ge 0 $, si ha

$ f(frac{x_1 + x_2}{2}) \le frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} $

che è proprio la definizione di funzione convessa.

[gugo82]

@pilloeffe: Grazie, ma si deve limare un po’...

Quella è la definizione di funzione “mid-point convex” (come dicono gli anglosassoni). Esistono funzioni non continue che sono “mid-point convex” ma non convesse, i.e. che non soddisfano la disuguaglianza di convessità:
\[
f\big( (1-t) x_0 + t x_1\big) \leq (1-t) f(x_0) + t f(x_1)
\]
per ogni $x_0

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[dissonance]

@Gugo: ma hai già assunto che la funzione è derivabile, quindi secondo me va bene la dimostrazione di pilloeffe. Altra cosa è se ti scoccia dover poi dimostrare che la funzione mid-point convessa e continua è convessa, cosa che effettivamente è un po' un casino.

Comunque si può anche facilmente rifare il ragionamento con qualsiasi \(x_1\le x_m\le x_2\), non deve essere per forza il punto di mezzo.

Stavo pensando che in un certo senso questa è l'unica dimostrazione possibile, perché per passare da informazioni sulla derivata ad informazioni sui rapporti incrementali (mi riferisco alla disuguaglianza di convessità) bisogna per forza integrare. Pilloeffe usa il teorema del valor medio, che in fondo è un integrale.

[dissonance]

Una alternativa. Sia \(f\colon [x_1,x_2]\to \mathbb R\) la funzione in questione e sia \(x_m\in (x_1, x_2)\) (non necessariamente il punto di mezzo). La disuguaglianza di convessità (da dimostrare) dice che
\[
f(x_m)\le \frac{x_2-x_m}{x_2-x_1} f(x_1) + \frac{x_m-x_1}{x_2-x_1} f(x_2),\]
e questo si può riorganizzare come segue:
\[\tag{1}
\frac{f(x_m)-f(x_1)}{x_m-x_1}\le \frac{ f(x_2)-f(x_m)}{x_2-x_m}.\]
Per il teorema fondamentale del calcolo:
\[
\frac{f(x_m)-f(x_1)}{x_m-x_1} =\frac{1}{x_m-x_1}\int_{x_1}^{x_m} f'\, dx, \quad \frac{f(x_2)-f(x_m)}{x_2-x_m} =\frac{1}{x_2-x_m}\int_{x_m}^{x_2} f'\, dx.\]
Siccome la derivata è monotona crescente, il secondo integrale è più grande del primo e questo dimostra la (1).

NOTA: Questa qua in fondo è la stessa dimostrazione di pilloeffe, solo che usa il teorema fondamentale del calcolo in luogo del teorema del valor medio.

[pilloeffe]

"gugo82":@pilloeffe: Grazie, ma si deve limare un po’...

Prego!
Beh, se riuscivo a risponderti in modo completamente soddisfacente minimo minimo volevo un Ph.D honoris causa...
Scherzi a parte...
@dissonance: mi piace anche la tua dimostrazione! In particolare, poco dopo aver postato, mi è venuto in mente quanto hai scritto:

"dissonance":si può anche facilmente rifare il ragionamento con qualsiasi $x_1 \le x_m \le x_2 $, non deve essere per forza il punto di mezzo.

Non ho provato a vedere se funziona, ma si potrebbe cercare di ripetere la mia dimostrazione assumendo $x_m := (1 - t)x_1 + t x_2 $ con $t \in (0, 1)$ (che ridiventa quella che ho postato nel caso particolare [tex]t = 1/2[/tex]).

[dissonance]

Ma certo che funziona, pilloeffe, è quello che volevo dire nel mio post. È solo un po' più scocciante perché bisogna fare un po' di conti con le coordinate baricentriche. Visto che li ho fatti li posto qui. Come sopra, sia \(f\colon [x_1,x_2]\to \mathbb R\) continua[nota]Mi sono accorto solo adesso che è necessario richiedere \(f\) continua su tutto \([x_1, x_2]\) e derivabile su \((x_1, x_2)\), che poi sono le ipotesi minime per applicare il teorema del valor medio. Senza la continuità sul bordo il risultato è ovviamente falso, perché si può ridefinire \(f\) su \(x_1, x_2\) in modo bislacco, perdendo la convessità, ma senza alterare la derivata.[/nota], derivabile su \((x_1, x_2)\) e con la derivata crescente. Sia \(x_m\in (x_1, x_2)\) Allora
\[
x_m=\underbrace{\frac{x_2-x_m}{x_2-x_1}}_{=:1-t} x_1 +\underbrace{ \frac{x_m-x_1}{x_2-x_1}}_{=:t}x_2 .\]
(I coefficienti \(t\) e \(1-t\) sono quello che ho chiamato sopra "coordinate baricentriche" di \(x_m\) rispetto a \(x_1, x_2\)). Con il teorema del valor medio si ha
\[
f(x_1)=f(x_m) + (x_1-x_m)f'(\xi_1)\quad f(x_2)=f(x_m)+(x_2-x_m)f'(\xi_2),\]
dove \(\xi_1\le \xi_2\). Prendendo la combinazione convessa delle due identità otteniamo
\[
(1-t)f(x_1)+t f(x_2) = f(x_m) + (1-t)(x_1-x_m)f'(\xi_1)+t(x_2-x_m)f'(\xi_2).\]
Adesso usiamo l'espressione di \(t\) e di \(1-t\) scritta sopra (le coordinate baricentriche) e otteniamo che
\[
(1-t)(x_1-x_m)f'(\xi_1)+t(x_2-x_m)f'(\xi_2) = \frac{(x_2-x_m)(x_m-x_1)}{x_2-x_1}( f'(\xi_2)-f'(\xi_1)) \ge 0.\]
E abbiamo finito perché abbiamo dimostrato che
\[
(1-t)f(x_1)+t f(x_2) \ge f(x_m).\]

[Plepp]

Ipotizzando che la dimostrazione serva per un corso di Analisi 1, eviterei di tirare fuori gli integrali (studiati sempre dopo le derivate e le funzioni convesse) e farei come pilloeffe, usando il teorema di Lagrange: se $f:I\to RR$ e $x_0,x\in I$, diciamo $x_0 \[f(x)=f(x_0)+f'(\xi)(x-x_0)\ge f(x_0)+ f'(x_0)(x-x_0)\]
essendo $\xi\in (x_0,x)$, e analogamente se $x

"dissonance":Mi sono accorto solo adesso che è necessario richiedere \(f\) continua su tutto \([x_1, x_2]\) e derivabile su \((x_1, x_2)\), che poi sono le ipotesi minime per applicare il teorema del valor medio. Senza la continuità sul bordo il risultato è ovviamente falso, perché si può ridefinire \(f\) su \(x_1, x_2\) in modo bislacco, perdendo la convessità, ma senza alterare la derivata.

Ma scusa, gugo sta supponendo che la $f$ sia derivabile ovunque, quindi è superflua questa richiesta. No?

[dissonance]

Mi riferivo alla continuità agli estremi dell'intervallo: se non la assumi è falso, come è abbastanza ovvio

[otta96]

Ma se la funzione è derivabile in tutto l'intervallo per ipotesi dovrebbe essere anche continua su tutto l'intervallo, o no?

[Plepp]

"otta96":Ma se la funzione è derivabile in tutto l'intervallo per ipotesi dovrebbe essere anche continua su tutto l'intervallo, o no?

E' ciò che dicevo anch'io

[gugo82]

Grazie a tutti, ma poi ho capito che la dimostrazione la riuscivo a terminare se mi fermavo dov'ero... Spiego.

La faccenda era così. Fissati $x_0 \[
\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = f^\prime (\xi) \leq f^\prime (\eta) = \frac{f(x_1)-f(x)}{x_1-x}
\]
e mi intestardivo a voler provare con la stessa tecnica che il rapporto incrementale $(f(x_1)-f(x_0))/(x_1-x_0)$ è compreso tra gli altri due... Quando ciò non mi serviva affatto, perché dalla precedente si riesce a tirare fuori la disuguaglianza di convessità immediatamente.