Derivata di funzioni composte
Salve, ho un piccolo dubbio su una derivata che sto' cercando di risolvere:
$ f(x) = arctan(1 // (1+x^2) ) $
allora prima di tutto faccio la derivata dell'arctan poi moltiplico per la derivata del suo argomento, poi moltiplico per la derivata di $ x^2 $
$ f'(x) = 1/(1+(1 // (1+x^2) ))*(-2x)/(1+x^2)^2*2x $
ciò che mi pone dubbio, è se devo moltiplicare o meno per quel $ 2x $ che sarebbe la derivata del denominatore (visto che $ 1+ x^2 $ è composta).
$ f(x) = arctan(1 // (1+x^2) ) $
allora prima di tutto faccio la derivata dell'arctan poi moltiplico per la derivata del suo argomento, poi moltiplico per la derivata di $ x^2 $
$ f'(x) = 1/(1+(1 // (1+x^2) ))*(-2x)/(1+x^2)^2*2x $
ciò che mi pone dubbio, è se devo moltiplicare o meno per quel $ 2x $ che sarebbe la derivata del denominatore (visto che $ 1+ x^2 $ è composta).
Risposte
"Raffo1":
Salve, ho un piccolo dubbio su una derivata che sto' cercando di risolvere:
$ f(x) = arctan(1 // (1+x^2) ) $
allora prima di tutto faccio la derivata dell'arctan poi moltiplico per la derivata del suo argomento, poi moltiplico per la derivata di $ x^2 $
$ f'(x) = 1/(1+(1 // (1+x^2) ))*(-2x)/(1+x^2)^2*2x $
ciò che mi pone dubbio, è se devo moltiplicare o meno per quel $ 2x $ che sarebbe la derivata del denominatore (visto che $ 1+ x^2 $ è composta).
La derivata di una funzione composta si calcola con la seguente formula: $(f(g(x))) ' = f ' (g(x))*g ' (x)$.
Nel tuo caso, devi trovare la derivata dell'arcotangente e valutarla in $(1/(1+x^2))$. ( Lo hai fatto ma hai perso un elevamento al quadrato, la derivata di $atan(x) è 1/(1+x^2)$. )
Devi ora moltiplicare per la derivata di $1/(1+x^2)$ che puoi vedere o come rapporto di due funzioni o come $(1+x^2)^(-1)$.
Detto questo, quel $2x$ finale ci va o no ?
"Relegal":
La derivata di una funzione composta si calcola con la seguente formula: $(f(g(x))) ' = f ' (g(x))*g ' (x)$.
Nel tuo caso, devi trovare la derivata dell'arcotangente e valutarla in $(1/(1+x^2))$. ( Lo hai fatto ma hai perso un elevamento al quadrato, la derivata di $atan(x) è 1/(1+x^2)$. )
Devi ora moltiplicare per la derivata di $1/(1+x^2)$ che puoi vedere o come rapporto di due funzioni o come $(1+x^2)^(-1)$.
Detto questo, quel $2x$ finale ci va o no ?
Ok, ho notato l'errore del quadrato, come tu hai detto devo moltiplicare per la derivata di $1/(1+x^2)$ che è a sua volta una funzione composta! Quindi secondo me và messo...
Prima di postare qui ho fatto delle prove con i vari strumenti a disposizione di noi studenti, come derive, e ho notato che il software questa moltiplicazione per $2x$ non la esegue. Mi fido di lui, ma se non comprendo il perchè non mi serve.
"Raffo1":
[quote="Relegal"]La derivata di una funzione composta si calcola con la seguente formula: $(f(g(x))) ' = f ' (g(x))*g ' (x)$.
Nel tuo caso, devi trovare la derivata dell'arcotangente e valutarla in $(1/(1+x^2))$. ( Lo hai fatto ma hai perso un elevamento al quadrato, la derivata di $atan(x) è 1/(1+x^2)$. )
Devi ora moltiplicare per la derivata di $1/(1+x^2)$ che puoi vedere o come rapporto di due funzioni o come $(1+x^2)^(-1)$.
Detto questo, quel $2x$ finale ci va o no ?
Ok, ho notato l'errore del quadrato, come tu hai detto devo moltiplicare per la derivata di $1/(1+x^2)$ che è a sua volta una funzione composta! Quindi secondo me và messo...
Prima di postare qui ho fatto delle prove con i vari strumenti a disposizione di noi studenti, come derive, e ho notato che il software questa moltiplicazione per $2x$ non la esegue. Mi fido di lui, ma se non comprendo il perchè non mi serve.[/quote]
Dunque, la derivata della funzione $(1+x^2)^(-1)$ è $-1*(1+x^2)^(-2)*2x = -(2x)/(1+x^2)^2$.
Quindi il fattore $2x$ che hai aggiunto alla fine non ci va !
"Relegal":
Dunque, la derivata della funzione $(1+x^2)^(-1)$ è $-1*(1+x^2)^(-2)*2x = -(2x)/(1+x^2)^2$.
Quindi il fattore $2x$ che hai aggiunto alla fine non ci va !
Diamine! Quindi se faccio la derivata di una frazione (composta) non devo ri-derivare il contenuto del denominatore...
Anche perchè logicamente io l'ho derivato già una volta facendo $(n'(x)d(x)-n(x)d'(x))/(d(x)^2)$
grazie mille.
"Raffo1":
[quote="Relegal"]Dunque, la derivata della funzione $(1+x^2)^(-1)$ è $-1*(1+x^2)^(-2)*2x = -(2x)/(1+x^2)^2$.
Quindi il fattore $2x$ che hai aggiunto alla fine non ci va !
Diamine! Quindi se faccio la derivata di una frazione (composta) non devo ri-derivare il contenuto del denominatore...
Anche perchè logicamente io l'ho derivato già una volta facendo $(n'(x)d(x)-n(x)d'(x))/(d(x)^2)$
grazie mille.
[/quote]
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