Derivata di funzioni col valore assoluto
Ciao,
ho dei dubbi sul calcolo di derivate con valori assoluti:
$f(x)=ln|lnsinx|$
devo studiare il tutto nei casi in cui l'argomento del valore assoluto sia maggiore e minore di zero, ossia:
$|lnsinx|={(lnsinx, if lnsinx >0),(-lnsinx, if lnsinx <0):}$
Domanda: e l'uguale?
Comunque in questo caso dovro' derivare le 2 funzioni:
ho dei dubbi sul calcolo di derivate con valori assoluti:
$f(x)=ln|lnsinx|$
devo studiare il tutto nei casi in cui l'argomento del valore assoluto sia maggiore e minore di zero, ossia:
$|lnsinx|={(lnsinx, if lnsinx >0),(-lnsinx, if lnsinx <0):}$
Domanda: e l'uguale?
Comunque in questo caso dovro' derivare le 2 funzioni:
- i) $f(x)= lnlnsinx$
ii) $f(x)=-lnlnsinx$[/list:u:voxgjrwd]
Ho fatto:
caso i)
$[ln(ln(sinx))]'$ sostituisco $g(x)=lnsinx$ e ottengo $ln(g(x))' = 1/g(x) g'(x)$, quindi, $g'(x) = [ln(sinx)]' = 1/sinx cosx = cosx/sinx$.
Inserisco nella $ln(g(x))' = 1/g(x) g'(x)= 1/lnsinx cosx/sinx = cosx/(lnsinx sinx)$
caso ii)
stessa cosa con un $-$ davanti o sbaglio?.
e quindi ottengo 2 derivate diverse e poi?
Risposte
"BoG":
Ciao,
ho dei dubbi sul calcolo di derivate con valori assoluti:
$f(x)=ln|lnsinx|$
devo studiare il tutto nei casi in cui l'argomento del valore assoluto sia maggiore e minore di zero, ossia:
$|lnsinx|={(lnsinx, if lnsinx >0),(-lnsinx, if lnsinx <0):}$
Domanda: e l'uguale?
Va col maggiore. Mi spiego
$|x|$
vuol dire
$x$ se $x>=0$
$-x$ se $x<0$
grazie, invece il resto è giusto? e qnd arrivo alla fine ? cosa me ne faccio di 2 risultati diversi? devo farne qualcosa in particolare ?
Ciao.
Hai sbagliato qua:
La funzione da derivare è:
Hai sbagliato qua:
"BoG":
Comunque in questo caso dovro' derivare le 2 funzioni:
i) $f(x)= lnlnsinx$
ii) $f(x)=-lnlnsinx$[/list:u:22p30wi2]
La funzione da derivare è:
- i) $f(x)= lnlnsinx$ , se $ln sin x>=0$,
ii) $f(x)=ln(-lnsinx)$ , se $ln sin x<0$[/list:u:22p30wi2]
Di fatto poi considera che è sempre $sin x<=1$, e che quindi non succede mai che sia: $ln sin x>0$...
Hai ragione, ho sbagliato a posizionare il segno meno!
Ho capito cio' che vuoi dire ma nel caso avessi da derivare una funzione che esiste sia per $x<0$ che per $x>=0$?
ad esempio se fosse $f(x):=ln|x|$,
dovrei considerare i 2 casi:
$|x|{(x, if x>=0),(-x, if x<0):}$
quindi avrei:
Ho capito cio' che vuoi dire ma nel caso avessi da derivare una funzione che esiste sia per $x<0$ che per $x>=0$?
ad esempio se fosse $f(x):=ln|x|$,
dovrei considerare i 2 casi:
$|x|{(x, if x>=0),(-x, if x<0):}$
quindi avrei:
[*:3c0i6ff5] Per $x>=0$ avrei $ln(x)$[/*:m:3c0i6ff5]
[*:3c0i6ff5] Per $x<0$ avrei $ln(-x)$[/*:m:3c0i6ff5][/list:u:3c0i6ff5]
Che comunque si riconduce ad un unica funzione $ln(x)$ come se $x$ fosse sempre positivo. o sbaglio?
Mi chiedo se esistono casi in cui ottengo funzioni diverse nei 2 casi?
Ad esempio:
[*:3c0i6ff5] Per $x>=0$ ho che $ln(x^3)$[/*:m:3c0i6ff5]
[*:3c0i6ff5] Per $x<0$ ho che $ln(e^arcsin(-x))$[/*:m:3c0i6ff5][/list:u:3c0i6ff5]
E se si, in quel caso come faccio ad "unire" i 2 risultati? (sempre se si devono "unire")?
Oppure ho un altra cosa da aggiungere nel grande libro delle cazzate che tengo ed aggiorno minuziosamente?
Grazie.
"gio73":
[quote="BoG"]Ciao,
ho dei dubbi sul calcolo di derivate con valori assoluti:
$f(x)=ln|lnsinx|$
devo studiare il tutto nei casi in cui l'argomento del valore assoluto sia maggiore e minore di zero, ossia:
$|lnsinx|={(lnsinx, if lnsinx >0),(-lnsinx, if lnsinx <0):}$
Domanda: e l'uguale?
Va col maggiore. Mi spiego
$|x|$
vuol dire
$x$ se $x>=0$
$-x$ se $x<0$[/quote]
In realtà può andare anche in tutti e due i casi... Però in questo caso il valore assoluto, essendo argomento del logaritmo, ha da essere \(>0\) e ciò equivale a dire che l'argomento del valore assoluto deve necessariamente essere o \(>0\) o \(<0\).
Inoltre, prima di calcolare le derivate di una funzione, è sempre buona norma determinarne l'insieme di definizione, altrimenti si può incappare in cavolate colossali.
Ad esempio, se ti chiedessi di calcolare la derivata di:
\[
f(x):=\arcsin \left( e^x + \frac{x^2+\pi}{x^2+e}\right)
\]
che mi risponderesti?
E se ti chiedessi di fare lo stesso con questa:
\[
f(x):= \sqrt{1-e^{x^2}}
\]
che risponderesti?
Mi conosco abbastanza bene da poter dire che pure determinando l'insieme di definizione sarei ancora molto bravo nello sparare cavolate, purtroppo!
nel primo caso ti direi che la funzione $arcsin(x)$ è definita sul dominio ristretto $[-1,1]$
quindi dovrei cercare quando $-1 <(e^x + (x^2+\pi)/(x^2+e))<1$?
cercherei quando
$(x^2e^x+e^(x+1) + x^2+\pi)/(x^2+e)> -1$ sempre vera perchè il numeratore è sempre >0 e pure il denominatore
e quando
$(x^2e^x+e^(x+1) + x^2+\pi)/(x^2+e)< 1$ qua... sarebbe da studiare:
$(x^2+e)< 1$ non è vera prechè $e>1$ , aggiungendoci poi un numero che al minimo puo' essere $0$ non si fa altro che aumentare onel migliore dei casi ad inalterare $0+e>1$, $ e>1$.
Poi ci sarebbe da vedere quando
$(x^2e^x+e^(x+1) + x^2+\pi)< 1$ anche in questo caso la conclusione è come sopra! basta il $\pi$ a superare $1$
e direi che non si puo 'calcolare...
nel primo caso ti direi che la funzione $arcsin(x)$ è definita sul dominio ristretto $[-1,1]$
quindi dovrei cercare quando $-1 <(e^x + (x^2+\pi)/(x^2+e))<1$?
cercherei quando
$(x^2e^x+e^(x+1) + x^2+\pi)/(x^2+e)> -1$ sempre vera perchè il numeratore è sempre >0 e pure il denominatore
e quando
$(x^2e^x+e^(x+1) + x^2+\pi)/(x^2+e)< 1$ qua... sarebbe da studiare:
$(x^2+e)< 1$ non è vera prechè $e>1$ , aggiungendoci poi un numero che al minimo puo' essere $0$ non si fa altro che aumentare onel migliore dei casi ad inalterare $0+e>1$, $ e>1$.
Poi ci sarebbe da vedere quando
$(x^2e^x+e^(x+1) + x^2+\pi)< 1$ anche in questo caso la conclusione è come sopra! basta il $\pi$ a superare $1$
e direi che non si puo 'calcolare...
Evitando di fare cose meccaniche è molto semplice capire cosa succede dentro l'argomento dell'arcoseno.
Infatti la frazione \(\frac{x^2+\pi}{x^2+e}\), definita ovunque in \(\mathbb{R}\), è sempre una "frazione impropria" (come si diceva alle medie) poiché il numeratore è sempre maggiore del denominatore; quindi si ha \(\frac{x^2+\pi}{x^2+e} >1\).
Dalla positività della funzione \(e^x\), si conclude immediatamente che:
\[
e^x+\frac{x^2+\pi}{x^2+e} >1
\]
dunque la \(f(x)=\arcsin ( e^x+ \frac{x^2+\pi}{x^2+e})\) non è definita per nessun valore di \(x\)... E perciò non ha alcun senso chiedere di calcolare la sua derivata!
Cosa mi dici, invece dell'altra funzione?
Infatti la frazione \(\frac{x^2+\pi}{x^2+e}\), definita ovunque in \(\mathbb{R}\), è sempre una "frazione impropria" (come si diceva alle medie) poiché il numeratore è sempre maggiore del denominatore; quindi si ha \(\frac{x^2+\pi}{x^2+e} >1\).
Dalla positività della funzione \(e^x\), si conclude immediatamente che:
\[
e^x+\frac{x^2+\pi}{x^2+e} >1
\]
dunque la \(f(x)=\arcsin ( e^x+ \frac{x^2+\pi}{x^2+e})\) non è definita per nessun valore di \(x\)... E perciò non ha alcun senso chiedere di calcolare la sua derivata!
Cosa mi dici, invece dell'altra funzione?
evitando la mecanicita' ... o per lo meno provandoci:
$f(x):= \sqrt{1-e^{x^2}}$
beh, la radice ha bisogno di un argomento positivo, lo ha solo quando $e^(x^2) <= 1 $ quindi mai tranne in $x=0$.
Questo lo intuisco anche dal fatto che $e^(x^2)$ equivale a $e^(\text(esponente sempre positivo))$ e quindi ad una parabola che ha il suo minimo in $x=0$.
Dato che ha esistenza solo in un punto, $x=0$ appunto, credo abbia derivata zero, o non esista perche' se penso alla definizione di derivata:
$f'[\bar(x)]:= lim_(x\to\bar(x))(f[x]-f[\bar(x)])/(x-\bar(x))$ dove $\bar(x)\in dom(f)$ è un punto di accumulazione del dominio,
allroa dovrebbe esistere un intorno di $\bar(x)$: $I(\bar(x))$ pero' la funzione è definita solo in un punto, quindi... direi che questo intorno non esiste. Sbaglio?
Dando un occhiata a $lim_(x\to0^+) \sqrt{1-e^{x^2}}$ e a $lim_(x\to0^-) \sqrt{1-e^{x^2}}$ direi che:
$lim_(x\to0^+) \sqrt{1-e^{x^2}}$ = $lim_(x\to0^+) \sqrt{1-e^{0^+}}$ =$lim_(x\to0^+) \sqrt{1-1^+}$ -> non esiste
$lim_(x\to0^-) \sqrt{1-e^{x^2}}$ = $lim_(x\to0^-) \sqrt{1-e^{(0^-)^2}}$ = $lim_(x\to0^+) \sqrt{1-e^{0^+}}$ =$lim_(x\to0^+) \sqrt{1-1^+}$ -> non esiste
$f(x):= \sqrt{1-e^{x^2}}$
beh, la radice ha bisogno di un argomento positivo, lo ha solo quando $e^(x^2) <= 1 $ quindi mai tranne in $x=0$.
Questo lo intuisco anche dal fatto che $e^(x^2)$ equivale a $e^(\text(esponente sempre positivo))$ e quindi ad una parabola che ha il suo minimo in $x=0$.
Dato che ha esistenza solo in un punto, $x=0$ appunto, credo abbia derivata zero, o non esista perche' se penso alla definizione di derivata:
$f'[\bar(x)]:= lim_(x\to\bar(x))(f[x]-f[\bar(x)])/(x-\bar(x))$ dove $\bar(x)\in dom(f)$ è un punto di accumulazione del dominio,
allroa dovrebbe esistere un intorno di $\bar(x)$: $I(\bar(x))$ pero' la funzione è definita solo in un punto, quindi... direi che questo intorno non esiste. Sbaglio?
Dando un occhiata a $lim_(x\to0^+) \sqrt{1-e^{x^2}}$ e a $lim_(x\to0^-) \sqrt{1-e^{x^2}}$ direi che:
$lim_(x\to0^+) \sqrt{1-e^{x^2}}$ = $lim_(x\to0^+) \sqrt{1-e^{0^+}}$ =$lim_(x\to0^+) \sqrt{1-1^+}$ -> non esiste
$lim_(x\to0^-) \sqrt{1-e^{x^2}}$ = $lim_(x\to0^-) \sqrt{1-e^{(0^-)^2}}$ = $lim_(x\to0^+) \sqrt{1-e^{0^+}}$ =$lim_(x\to0^+) \sqrt{1-1^+}$ -> non esiste
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