Derivata di funzione potenziale help!
buona sera a tutti mi chiamo luca e sono nuovo di questo forum, sto scrivendo una tesi sul contatto hertziano e mi sono imbattuto nella derivazione di una funzione potenziale che non riesco a capire e vorrei sapere se qualcuno mi può dare una mano, allego le tre pagine del documento che sto studiando perchè penso che lo scritto originale valga più di mille spiegazioni
pagina 1
pagina 2
pagina 3
la mia difficoltà sta nello svolgere le derivate dalla 31 alla 39 della funzione 25 utilizzando le formule della 30, so di essere un pò ermetico ma con i documenti davanti risulta tutto + immediato, ringrazio anticipatamente tutti e vi auguro buona serata
pagina 1
pagina 2
pagina 3
la mia difficoltà sta nello svolgere le derivate dalla 31 alla 39 della funzione 25 utilizzando le formule della 30, so di essere un pò ermetico ma con i documenti davanti risulta tutto + immediato, ringrazio anticipatamente tutti e vi auguro buona serata
Risposte
Benvenuto Luca,
qui ci sono utenti che ti vogliono aiutare, ma in conformità al regolamento (click!) dovresti postare i tuoi tentativi (ti aiuta il codice LaTeX, basta che clicchi su anteprima sotto e puoi gestirlo comodamente), così da mostrarti i tuoi eventuali errori!
qui ci sono utenti che ti vogliono aiutare, ma in conformità al regolamento (click!) dovresti postare i tuoi tentativi (ti aiuta il codice LaTeX, basta che clicchi su anteprima sotto e puoi gestirlo comodamente), così da mostrarti i tuoi eventuali errori!
garzie j18eos e mi scuso se ho usato un approccio sbagliato ma sono una new entry del forum, allora
la funzione che devo derivare è
$ phi=(3P)/4*int_(gamma)^(oo) ( 1-x^2/(a^2+psi)-y^2/(b^2+psi)-z^2/psi)(dpsi)/[(a^2+psi)(b^2+psi)psi ]^(1/2) $ (1)
dove $ gamma $ è la radice positiva dell'eqauzione
$ 1-x^2/(a^2+gamma)-y^2/(b^2+gamma)-z^2/gamma=0 $ (2)
siccome devo analizzare la funzione $ phi $ nell'origine del mio sistema di riferimento pongo nella (2) $ x $ e $ y $ uguali a $ 0 $
ed ottengo giustamente $ gamma = z^2 $
poi il testo mi dice che per derivare $ phi $ devo usare le seguentio formule di derivazione
$ del / (del x) = (del gamma)/ (del x) delta / (delta gamma) + delta / (delta x) $
$ del / (del y) = (del gamma)/ (del y) delta / (delta gamma) + delta / (delta y) $
$ del / (del z) = (del gamma)/ (del z) delta / (delta gamma) + delta / (delta z) $
dove $ delta $ indica la differenziazione quando $ gamma $ viene considerata una variabile indipendente, ovvero non si tiene conto della (2)
ora il testo esegue più derivate ma io per capire come devo fare basterebbe riuscissi a risolvere $ (del^2 phi) / (del z^2) $ ,
secondo sempre il testo tale derivata fa
$ (del^2phi)/(delz^2)=(-3P)/(a^3)*int_(zeta)^(oo)(domega)/(omega^2(a^2+omega)^(1/2)(b^2+omega)^(1/2))+ (3P)/(a^3)1/(zeta[(1+zeta^2)(k^2+zeta^2) ]^(1/2)) $ (3)
dove in precedenza sono stati fatti i seguenti cambi di variabile
$ psi=a^2omega^2 $ ; $ k=b/a $ ; $ zeta=z/a $
il punto è che io eseguento la suddetta derivata non riesco mai ad ottenere il termine additivo ma solo il termine integrale della (3)
qualcuno potrebbe postarmi i passaggi corretti perchè sto uscendo matto.... grazie a tutti in ogni caso
la funzione che devo derivare è
$ phi=(3P)/4*int_(gamma)^(oo) ( 1-x^2/(a^2+psi)-y^2/(b^2+psi)-z^2/psi)(dpsi)/[(a^2+psi)(b^2+psi)psi ]^(1/2) $ (1)
dove $ gamma $ è la radice positiva dell'eqauzione
$ 1-x^2/(a^2+gamma)-y^2/(b^2+gamma)-z^2/gamma=0 $ (2)
siccome devo analizzare la funzione $ phi $ nell'origine del mio sistema di riferimento pongo nella (2) $ x $ e $ y $ uguali a $ 0 $
ed ottengo giustamente $ gamma = z^2 $
poi il testo mi dice che per derivare $ phi $ devo usare le seguentio formule di derivazione
$ del / (del x) = (del gamma)/ (del x) delta / (delta gamma) + delta / (delta x) $
$ del / (del y) = (del gamma)/ (del y) delta / (delta gamma) + delta / (delta y) $
$ del / (del z) = (del gamma)/ (del z) delta / (delta gamma) + delta / (delta z) $
dove $ delta $ indica la differenziazione quando $ gamma $ viene considerata una variabile indipendente, ovvero non si tiene conto della (2)
ora il testo esegue più derivate ma io per capire come devo fare basterebbe riuscissi a risolvere $ (del^2 phi) / (del z^2) $ ,
secondo sempre il testo tale derivata fa
$ (del^2phi)/(delz^2)=(-3P)/(a^3)*int_(zeta)^(oo)(domega)/(omega^2(a^2+omega)^(1/2)(b^2+omega)^(1/2))+ (3P)/(a^3)1/(zeta[(1+zeta^2)(k^2+zeta^2) ]^(1/2)) $ (3)
dove in precedenza sono stati fatti i seguenti cambi di variabile
$ psi=a^2omega^2 $ ; $ k=b/a $ ; $ zeta=z/a $
il punto è che io eseguento la suddetta derivata non riesco mai ad ottenere il termine additivo ma solo il termine integrale della (3)
qualcuno potrebbe postarmi i passaggi corretti perchè sto uscendo matto.... grazie a tutti in ogni caso
heeeeeeeeeeeeeeeeeeeellllllllllllllllllpppppppppppppppppppppppp :'(
:'(
Ma hai provato con le sostituzioni [tex]$\frac{\partial}{\partial z}=\frac{\partial\gamma}{\partial z}\cdot\frac{\delta}{\delta\gamma}+\frac{\delta}{\delta z}=\frac{\partial(a\zeta)^2}{\partial(a\zeta)}\cdot\frac{\delta}{\delta[(a\zeta)^2]}+\frac{\delta}{\delta(a\zeta)}=\frac{2}{a}\zeta\frac{\delta}{\delta(\zeta^2)}+\frac{1}{a}\frac{\delta}{\delta\zeta}$[/tex], oppure ho preso una cantonata? 
Alternativamente, posta i conti!
Alternativamente, posta i conti!
ciao j18eos! ti ringrazio infinitamente innanzitutto per avremi dato una risposta anche perchè ormai avevo perso ogni speranza di averne una... per quanto riguarda la sostituzione che hai fatto sinceramente non ci avevo pensato ma ho finito ora di fare i calcoli in quel modo e non mi viene neppure la derivata $ (del phi) /(del z) $ perciò non penso sia la strada giusta poi non so...tu cosa ne pensi a riguardo? c'è qualche regola di derivazione che ignoro? mi ci gioco la testa che la soluzione non è complessa ma non so da dove cominciare....idee?
Ho preso una cantonata!
Dato che la derivata prima ti riesce: posta i conti della derivata seconda così che te li controlliamo! -_-
Dato che la derivata prima ti riesce: posta i conti della derivata seconda così che te li controlliamo! -_-
caro j18eos postare la derivata prima è veramente infruttoso e tantomeno la derivata seconda, lunga un chilometro, perderei solo tempo a scrivere nel forum e niente più senza ottenere risultati, se qualcuno avesso voluto avrebbe già potuto aiutarmi semplicemente scrivendomi i passi di derivazione del resto ho messo tutto il materiale necessario, cmqe no problem e grazie lo stesso andrò a rompere le scatole a tutti i prof di matematica della mia università e prima o poi ne esco
Hai provato a comporre i due operatori differenziali?
Voglio dire, sai che:
[tex]$\begin{cases} \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left[\frac{\partial}{\partial z}\left] \\ \frac{\partial}{\partial z} =\frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\frac{\delta}{\delta z}\end{cases}$[/tex],
quindi:
[tex]$\frac{\partial^2}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\frac{\delta}{\delta z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} \right] +\frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\delta}{\delta z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\partial \gamma}{\partial z}\right]\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} + \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[\frac{\delta}{\delta \gamma} \right] +\frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\delta}{\delta z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{\partial^2 \gamma}{\partial z^2}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} + \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \left( \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\frac{\delta}{\delta z}\right) \left[\frac{\delta}{\delta \gamma} \right] +\left( \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\frac{\delta}{\delta z}\right) \left[ \frac{\delta}{\delta z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{\partial^2 \gamma}{\partial z^2}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} + \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma^2}+\frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma \delta z} +\frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma \delta z} + \frac{\delta^2}{\delta z^2}$[/tex],
ossia:
[tex]$\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\frac{\partial^2 \gamma}{\partial z^2}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\left( \frac{\partial \gamma}{\partial z}\right)^2\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma^2} +2\frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma \delta z} + \frac{\delta^2}{\delta z^2}$[/tex],
con l'ultima espressione che ti permette di calcolare la derivata seconda senza troppi intoppi.
P.S.: Una nota a margine.
Nelle regole generali sta scritto a chiare lettere che questo non è un forum in cui si dà aiuto per nulla (cfr. regolamento, 1.2-1.5), quindi chi vuole aiuto deve mostrare i suoi sforzi; questo concetto è richiamato nell'avviso, che si spera i nuovi utenti leggano prima di postare.
Anzi, postrare i calcoli in casi di esercizi contacciosi è importantissimo: innanzitutto, nello scrivere chi posta può rendersi conto di aver fatto un errore ed autocorreggersi; poi, chi legge può vedere subito se c'è un errore di calcolo e segnalarlo; infine, chi legge ha già una mole di calcoli su cui basarsi, per non fare tutto da capo perdendo tempo inutilmente.
Quindi, prima di fare la vittima, accertati di aver compreso perchè ti si chiede un po' di sforzo nella partecipazione al forum.
Voglio dire, sai che:
[tex]$\begin{cases} \frac{\partial^2}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left[\frac{\partial}{\partial z}\left] \\ \frac{\partial}{\partial z} =\frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\frac{\delta}{\delta z}\end{cases}$[/tex],
quindi:
[tex]$\frac{\partial^2}{\partial z^2} = \frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\frac{\delta}{\delta z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} \right] +\frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\delta}{\delta z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\partial \gamma}{\partial z}\right]\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} + \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\partial}{\partial z} \left[\frac{\delta}{\delta \gamma} \right] +\frac{\partial}{\partial z} \left[ \frac{\delta}{\delta z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{\partial^2 \gamma}{\partial z^2}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} + \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \left( \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\frac{\delta}{\delta z}\right) \left[\frac{\delta}{\delta \gamma} \right] +\left( \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\frac{\delta}{\delta z}\right) \left[ \frac{\delta}{\delta z}\right]$[/tex]
[tex]$=\frac{\partial^2 \gamma}{\partial z^2}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} + \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma^2}+\frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma \delta z} +\frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma \delta z} + \frac{\delta^2}{\delta z^2}$[/tex],
ossia:
[tex]$\frac{\partial^2}{\partial z^2}=\frac{\partial^2 \gamma}{\partial z^2}\cdot \frac{\delta}{\delta \gamma} +\left( \frac{\partial \gamma}{\partial z}\right)^2\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma^2} +2\frac{\partial \gamma}{\partial z}\cdot \frac{\delta^2}{\delta \gamma \delta z} + \frac{\delta^2}{\delta z^2}$[/tex],
con l'ultima espressione che ti permette di calcolare la derivata seconda senza troppi intoppi.
P.S.: Una nota a margine.
"lucadileta":
caro j18eos postare la derivata prima è veramente infruttoso e tantomeno la derivata seconda, lunga un chilometro, perderei solo tempo a scrivere nel forum e niente più senza ottenere risultati, se qualcuno avesso voluto avrebbe già potuto aiutarmi semplicemente scrivendomi i passi di derivazione del resto ho messo tutto il materiale necessario, cmq no problem e grazie lo stesso andrò a rompere le scatole a tutti i prof di matematica della mia università e prima o poi ne esco
Nelle regole generali sta scritto a chiare lettere che questo non è un forum in cui si dà aiuto per nulla (cfr. regolamento, 1.2-1.5), quindi chi vuole aiuto deve mostrare i suoi sforzi; questo concetto è richiamato nell'avviso, che si spera i nuovi utenti leggano prima di postare.
Anzi, postrare i calcoli in casi di esercizi contacciosi è importantissimo: innanzitutto, nello scrivere chi posta può rendersi conto di aver fatto un errore ed autocorreggersi; poi, chi legge può vedere subito se c'è un errore di calcolo e segnalarlo; infine, chi legge ha già una mole di calcoli su cui basarsi, per non fare tutto da capo perdendo tempo inutilmente.
Quindi, prima di fare la vittima, accertati di aver compreso perchè ti si chiede un po' di sforzo nella partecipazione al forum.
caro gugo82 innanzittutto ti ringrazio per la risposta che mi hai dato e di conseguenza del tuo aiuto e del tempo speso per me, di sicuro metterò subito in atto quanto hai scritto e vedrò di venire a capo del problema. Riguardo alla tua vena polemica invece non posso non dire la mia, di sicuro il mio atteggiamento non era da vittima e se ho scritto ciò che hai letto è per lo più dovuto allo sconforto e ad un pizzico di delusione visto che fino ad ora nessuno mi era stato di aiuto e questo non lo dico con arroganza o chissàchè ma come un dato di fatto , poi tu stesso come puoi vedere dai messaggi precedenti ho sempre ringraziato proprio perchè niente è dovuto ed il tempo dedicatomi in ogni caso è tempo che un altra persona potrebbe utilizzare in altro modo , so benissimo le regole del forum e non mi sono iscritto per fare dello sciacallaggio ma bensì per imparare da chi ne sa + di me e contribuire per quanto possa nella matematica applicata all'ingeneria. Riferendomi invece al fatto di non voler scrivere i passaggi ti rispondo con una domanda; secondo te avrebbe senso scrivere una pagina di conti quando si sà già che il punto di partenza è sbagliato? a mio parere no, anche perchè stiamo parlando di una derivata che per quanto lunga o incartata che sia è pur sempre una derivata la cui difficoltà in questo caso è dovuta alla mia ignoranza e niente + e sono sincero, ma purtroppo la matematica che insegnano ad oggi all'università, parlo per ingegneria meccanica, è ridicola ecco perchè mi sono rivolto a voi che ne sapete sicuaramente + di me del resto un problema grande per qualcuno è sempre facile per qualcun'altro ed in questo ho confidato, cmqe ti ripeto ti ringrazo e sono a tua disposizione per qualsiasi discussione.
Buona serata luca
Buona serata luca
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo