Derivata di funzione esponenziale composta
La funzione in questione è questa qua:
$ f (x) = x^{q} * e^{-1/x^q} $
A me viene:
$ f' (x) = q*x*e^{1/x^q} (1 + 1/x^2) $
Che ne dite?
Grazie per le eventuali risposte.
P.S.: scordavo di dire che q è un parametro reale strettamente maggiore di zero ( q > 0 ).
$ f (x) = x^{q} * e^{-1/x^q} $
A me viene:
$ f' (x) = q*x*e^{1/x^q} (1 + 1/x^2) $
Che ne dite?
Grazie per le eventuali risposte.
P.S.: scordavo di dire che q è un parametro reale strettamente maggiore di zero ( q > 0 ).
Risposte
La derivata di un prodotto di funzioni è la derivata della prima per la seconda più la prima per la derivata della seconda.
Nel tuo caso scegli $f=x^q$ e $g=e^(-1/x^q)$ e fai la derivata di questo prodotto di funzioni.
Il risultato che hai dato è sbagliato
Nel tuo caso scegli $f=x^q$ e $g=e^(-1/x^q)$ e fai la derivata di questo prodotto di funzioni.
Il risultato che hai dato è sbagliato
Si, quella è la procedura che seguo per calcolare la derivata in questi casi.
Ho riguardato il calcolo, ed ora mi viene:
$ f' (x) = q*e^{-1/x^q}(x^{q-1} + 2/x^q) $
ma non sono molto convinto del risultato.
Nelle soluzione trovo:
$ f' (x) = q*e^{-1/x^q}(x^{q-1} + 1/x) $
Quindi sbaglio la derivata di $ e^{-1/x^q} $.
Non viene $ (1/x^{2q})(2*q*x^{2q-1})*e^{-1/x^q} $ ?
Ho riguardato il calcolo, ed ora mi viene:
$ f' (x) = q*e^{-1/x^q}(x^{q-1} + 2/x^q) $
ma non sono molto convinto del risultato.
Nelle soluzione trovo:
$ f' (x) = q*e^{-1/x^q}(x^{q-1} + 1/x) $
Quindi sbaglio la derivata di $ e^{-1/x^q} $.
Non viene $ (1/x^{2q})(2*q*x^{2q-1})*e^{-1/x^q} $ ?
"lezan":
Quindi sbaglio la derivata di $ e^{-1/x^q} $.
Non viene $ (1/x^{2q})(2*q*x^{2q-1})*e^{-1/x^q} $ ?
No.
Infatti $e^{-1/x^q}=e^{-x^(-q)}$
e quindi derivando ho
$D(e^{-x^(-q)})=e^{-x^(-q)}D(-x^(-q))=e^{-x^(-q)}(-1)(-q)x^(-q-1)=qx^(-q-1)e^{-x^(-q)}=qx^(-q-1)e^{-1/x^q}$
Sapresti dirmi cosa sbaglio nel derivare quel modo? Dovrebbe venire anche scrivendola $ e^{-1/x^q} $, senza trasformarla.
Eppure il risultato ancora non mi torna.
Grazie.
Eppure il risultato ancora non mi torna.
Grazie.
"lezan":
Quindi sbaglio la derivata di $ e^{-1/x^q} $.
Non viene $ (1/x^{2q})(2*q*x^{2q-1})*e^{-1/x^q} $ ?
Penso che $x^(2q)$ sia il quadrato del denominatore nella derivata di un quoziente di funzioni, giusto?
Mi chiedo però che cos'è quel $2*q*x^(2q-1)$. Questa infatti non è la derivata di $x^q$ e quindi cos'è?
Prova a spiegarmi cosa hai fatto
Non devo derivare anche ciò che sta al denomintore? Ovvero $ x^{2q} $ ?
"lezan":
Non devo derivare anche ciò che sta al denomintore? Ovvero $ x^{2q} $ ?
No. La formula è :
$D(f(x)/g(x))=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2$
"misanino":
[quote="lezan"]Non devo derivare anche ciò che sta al denomintore? Ovvero $ x^{2q} $ ?
No. La formula è :
$D(f(x)/g(x))=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/g(x)^2$[/quote]
Ma non la devo trattare come si deriva anche una radice, per esempio quadrata? Ovvero tenendo conto soltanto di quello che c'è sotto la radice.
Qua non è la stessa cosa? Cioè, non devo badare al fatto che stia al denominatore, ma derivo come se fosse al numeratore, senza nulla al denominatore; Sbaglio, vero?
Mi sembrava di ricordare in questo modo eheh evidentemente no.
Sono un pò acciaccato mentalmente.
"lezan":
Ma non la devo trattare come si deriva anche una radice, per esempio quadrata? Ovvero tenendo conto soltanto di quello che c'è sotto la radice.
Qua non è la stessa cosa? Cioè, non devo badare al fatto che stia al denominatore, ma derivo come se fosse al numeratore, senza nulla al denominatore; Sbaglio, vero?
Mi sembrava di ricordare in questo modo eheh evidentemente no.
Sono un pò acciaccato mentalmente.
Hai $D(e^(-1/x^q))$ da calcolare.
Ora la derivata dell'esponenziale è l'esponenziale stesso e quindi hai
$D(e^(-1/x^q))=e^(-1/x^q)*D(-1/x^q)$
Ora se non vuoi vedere questa seconda funzione come $-x^(-q)$ (che per me è più comodo) puoi anche farlo se vuoi.
Si tratta allora di un quoziente di 2 funzioni dove $f(x)=-1$ e quindi ha derivata nulla e $g(x)=x^q$
E quindi devi fare la derivata del quoziente
D'accordo?
"misanino":
...
E quindi devi fare la derivata del quoziente
D'accordo?
Sisi, avevo capito ciò che intendevi, ma ti "spiegavo" il modo in cui mi sembrava che si dovevano trattare questo genere di funzioni.
Ti ringrazio per la pazienza con cui mi hai risposto.
"lezan":
Sisi, avevo capito ciò che intendevi, ma ti "spiegavo" il modo in cui mi sembrava che si dovevano trattare questo genere di funzioni.
Ti ringrazio per la pazienza con cui mi hai risposto.
A dir la verità non ho capito bene cosa intendevi.
Anche perchè se devo fare la derivata di $sqrt(x)$ io la vedo come $x^(1/2)$ e derivo normalmente.
Comunque è chiaro che il modo che pensavi ti dà un risultato sbagliato.
Ora vado a lezione. Se vuoi puoi provare poi a spiegarmi meglio questo tuo metodo e da dove deriva, così posso vedere se ti stai confondendo con qualcos'altro.
In ogni caso segui ciò che ti ho detto e vedrai che gli esercizi ti escono.
Ciao e buono studio
"misanino":
A dir la verità non ho capito bene cosa intendevi.
Anche perchè se devo fare la derivata di $sqrt(x)$ io la vedo come $x^(1/2)$ e derivo normalmente.
Comunque è chiaro che il modo che pensavi ti dà un risultato sbagliato.
Ora vado a lezione. Se vuoi puoi provare poi a spiegarmi meglio questo tuo metodo e da dove deriva, così posso vedere se ti stai confondendo con qualcos'altro.
In ogni caso segui ciò che ti ho detto e vedrai che gli esercizi ti escono.
Ciao e buono studio
Più tardi semmai provo a darTi una spiegazione della soluzione che adottavo per risolvere tale funzione.
Buona lezione e grazie ancora.
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