Derivata di funzione

[senter]

Salve,
mi trovo davanti ad una derivata che non riesco a risolvere.
La funzione da derivare è la seguente:

$f(x) = x^2(log(x/4)-1)^2$

Ho provato (sbagliando) a trattarla come prodotto di tre funzioni in questo modo:

$ = x^2(log(x/4)-1)(log(x/4)-1)$

provando ad eseguire la regola del prodotto.

Dove sbaglio? Non è giusto il mio procedimento?

[chiaraotta1]

A che risultato arrivi?

[senter]

"chiaraotta":A che risultato arrivi?

Errore mio di calcolo
Il ragionamente che ho fatto (penso) che sia giusto!

mi viene cosi:

$2x(log(x/4)-1)^2+x^2(log(x/4)-1)(1/x)+x^2(log(x/4)-1)(1/x)$
$ = 2x(log(x/4)-1)^2+2x(log(x/4)-1)$

Fino a qui ora ci sono!
Il problema è che devo calcolare quando questa derivata è $>=0$.
Fino al passaggio scritto sopra ho fatto uguale al proff, ma ora lui scrive:

$2xlog(x/4)(log(x/4)-1) >= 0$

e da qui inizia a calcolare quando la disuguaglianza assume valori maggiori o uguali a zero.

ma come ha fatto ad arrivare qui? ---> $2xlog(x/4)(log(x/4)-1)$ ???

[Elyon_90]

ma se invece consideri il prodotto delle sole due funzioni $x^2$ e $(log(x/4)-1)^2$ ? e poi usi la formula usuale del prodotto..
ti verrebbe, se non sbaglio, $2x(log(x/4)-1)^2 + x^2 *2(log(x/4)-1)*(4/x)$

a te tornava così ?
dovrebbe venire un altro risultato ?

[senter]

"Elyon_90":ma se invece consideri il prodotto delle sole due funzioni $x^2$ e $(log(x/4)-1)^2$ ? e poi usi la formula usuale del prodotto..
ti verrebbe, se non sbaglio, $2x(log(x/4)-1)^2 + x^2 *2(log(x/4)-1)*(4/x)$

a te tornava così ?
dovrebbe venire un altro risultato ?

Si in effetti poteva tornare anche cosi!!
Pero credo tu abbia sbagliato alla fine! La derivata di $log(x/4) - 1$ è $1/x$

L'unica cosa che adesso non riesco a capire è il tipo di decomposizione che ha usato il mio proff,
come spiegato nel mio post precedente!


EDIT:
tutto risolto!!
Ci sono riuscito! Talvolta la soluzione piu facile è quella che risalta meno agli occhi xD
Grazie comunque a tutti! Credo che in tutta questa lunga giornata di domenica ci risentiremo ancora

[Gi81]

$ = 2x(log(x/4)-1)^2+2x(log(x/4)-1)=2x[log^2(x/4)-2log(x/4)+1+log(x/4)-1]=$
$=2x[log^2(x/4)-log(x/4)]=2x*log(x/4)*[log(x/4)-1]$

[senter]

"Gi8":$ = 2x(log(x/4)-1)^2+2x(log(x/4)-1)=2x[log^2(x/4)-2log(x/4)+1+log(x/4)-1]=$
$=2x[log^2(x/4)-log(x/4)]=2x*log(x/4)*[log(x/4)-1]$

Grazie Gi8 Ho fatto proprio uguale al tuo ragionamento
Grazie lo stesso!



EDIT:

AHIAHIAHIAHI troppo presto per cantar vittoria

Il risultato della disuguaglianza (che davo per scontato a mente) viene

$ x in (0,4) uu (4e, + oo)$

Ma scusate, l'argomento del logaritmo deve essere sempre positivo e la x diversa da zero in questo caso!
Cosa centra la $e$ adesso?
Io avevo fatto

$x in (0,4) uu (4, +oo)$ ...

[Gi81]

Ah, benissimo. Bravo te allora! Ciao, e buona continuazione

[Gi81]

Tieni presente che $log(x/4)-1>=0 <=> log(x/4)>=1 <=> x/4>=e <=> x>= 4e$

[senter]

"Gi8":Tieni presente che $log(x/4)-1>=0 <=> log(x/4)>=1 <=> x/4>=e <=> x>= 4e$

Io ho ragionato in questo modo:

$log(x/4)>=1 <=> x/4 >= 0$

Perchè se l'argomento del log è 0 allora il risultato sarà 1,
mentre se l'argomento è 1 il risultato sarà 0!

Ho fatto sempre in questo modo...come mai ora è sbagliato?

PS: grazie infinite per la risposta!

[Gi81]

Ti stai confondendo... è l'esatto contrario: $log(x/4)>=0 <=> x/4>=1$
Infatti $log(1)=0$

[senter]

"Gi8":Ti stai confondendo... è l'esatto contrario: $log(x/4)>=0 <=> x/4>=1$
Infatti $log(1)=0$

Si è vero scusami!

Allora $log(x)>=1 <=> x >= e$ è una regola "standard"? Ovvero "E' cosi e basta"?
Perche davvero non riesco a capire questo risultato
Purtroppo ne sulle dispense ne sugli appunti ho trovato qualcosa di simile per confrontare!

[Gi81]

Beh, ovviamente non cade dal cielo. C'è un modo per dimostrarlo:
Puoi vedere $1$ come $log(e)$, dunque hai $log(x)>= log(e)$

Ora puoi "togliere" i logaritmi, ottenendo $x>=e$

[senter]

"Gi8":Beh, ovviamente non cade dal cielo. C'è un modo per dimostrarlo:
Puoi vedere $1$ come $log(e)$, dunque hai $log(x)>= log(e)$

Ora puoi "togliere" i logaritmi, ottenendo $x>=e$

$log(e)=1$ quindi da qui levo i logaritmi e continuo con gli argomenti!
Grazie per la dritta! Sei stato davvero gentile!
Grazie ancora alla prossima!