Derivata di funzione
Ciao ragazzi, mi date una mano a calcolare la derivata della funzione $x/sqrt(x-1)$?
Io ho pensato di fare attraverso l'algebra delle derivate, calcolando la derivata del rapporto tra due funzioni con la "formula", ma il risultato dell'esercizio svolto non mi torna...
Io ho pensato di fare attraverso l'algebra delle derivate, calcolando la derivata del rapporto tra due funzioni con la "formula", ma il risultato dell'esercizio svolto non mi torna...
Risposte
Come mai non ti torna?
La formula è:
$D( f(x)/g(x)) = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x))/ (g(x)^2) $
La formula è:
$D( f(x)/g(x)) = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x))/ (g(x)^2) $
Sì, la formula è quella che conosco io (già è tanto 
).
Secondo me sbaglio a fare la derivata del "pezzettino" $sqrt(x-1)$: quanto fa, $1$??
Ti scrivo come ho svolto io: $f'(x)=[1sqrt(x-1)-x]/sqrt(x-1)^2=sqrt(x-1)-x/(x-1)$, ma il risultato non è giusto
).Secondo me sbaglio a fare la derivata del "pezzettino" $sqrt(x-1)$: quanto fa, $1$??
Ti scrivo come ho svolto io: $f'(x)=[1sqrt(x-1)-x]/sqrt(x-1)^2=sqrt(x-1)-x/(x-1)$, ma il risultato non è giusto
"Francesca.S":
Sì, la formula è quella che conosco io (già è tanto
Secondo me sbaglio a fare la derivata del "pezzettino" $sqrt(x-1)$: quanto fa, $1$??
Ti scrivo come ho svolto io: $f'(x)=[1sqrt(x-1)-x]/sqrt(x-1)^2=sqrt(x-1)-x/(x-1)$, ma il risultato non è giusto
$ D(sqrt(x-1)) != 1 $
Infatti:
$ D(sqrt(x-1)) = 1/2 * (x-1)^(-1/2) $
Eh ecco, allora il mio sospetto era giusto, sbagliavo proprio lì
La derivata di $sqrt(x-1)$ come faccio a sapere che è quella che hai scritto tu? E' una derivata notevole o devo fare tutto il procedimento calcolando il rapporto incrementale (col quale ho un rapporto abbastanza brutto )?
La derivata di $sqrt(x-1)$ come faccio a sapere che è quella che hai scritto tu? E' una derivata notevole o devo fare tutto il procedimento calcolando il rapporto incrementale (col quale ho un rapporto abbastanza brutto
)?
"Francesca.S":
Eh ecco, allora il mio sospetto era giusto, sbagliavo proprio lì
La derivata di $sqrt(x-1)$ come faccio a sapere che è quella che hai scritto tu? E' una derivata notevole o devo fare tutto il procedimento calcolando il rapporto incrementale (col quale ho un rapporto abbastanza brutto
No tranquilla.
tu sai sicuramente che $ D(x^n) = n x^(n-1) $
ora $ sqrt(x-1) = (x-1)^(1/2) $ giusto?
Perciò, dalla regola si ha che:
$ D((x-1)^(1/2)) = 1/2 * (x-1)^(1/2-1) = 1/2 * (x-1)^(-1/2) = 1/2 * 1/sqrt(x-1) $
Spero di essere stato chiaro... ma è abbastanza semplice, al posto della radice quadrata scrivi 1/2, al posto della cubica 1/3... questi termini li sostituisci a "n" della formuletta che sai e ottieni i valori giusti.
Uh, fichissimo!! Grazie mille, non ci avevo pensato, ora ho capito... grazie ancora!
Ciao ragazzi, riesumo il post perchè ho riprovato a fare l'esercizio a distanza di qualche giorno e mi manca un altro pezzo 
Sono ferma sempre a questa benedetta derivata: grazie a te Nasmil so che la derivata del numeratore è $D(x)=1$ e del denominatore è $D(sqrt(x-1))=1/2(x-1)^(-1/2)$. Fin qui tutto chiarissimo.
Sapendo questo applico la formula di derivazione del rapporto tra due funzioni, cioè: $sqrt(x-1)-(x 1/2(x-1)^(-1/2)]/(x-1)$ (la radice di $x-1$ dovrebbe stare a numeratore, ma non mi ci va .
Da qui ho provato vari calcoli, ma ogni volta mi viene un risultato diverso e mai il risultato giusto
Mi mostrate per favore il procedimento algebrico da adottare? Il risultato dovrebbe essere $(x-2)/(2(x-1)^(3/2))$
Grazie mille!!
Sono ferma sempre a questa benedetta derivata: grazie a te Nasmil so che la derivata del numeratore è $D(x)=1$ e del denominatore è $D(sqrt(x-1))=1/2(x-1)^(-1/2)$. Fin qui tutto chiarissimo.
Sapendo questo applico la formula di derivazione del rapporto tra due funzioni, cioè: $sqrt(x-1)-(x 1/2(x-1)^(-1/2)]/(x-1)$ (la radice di $x-1$ dovrebbe stare a numeratore, ma non mi ci va
.Da qui ho provato vari calcoli, ma ogni volta mi viene un risultato diverso e mai il risultato giusto
Mi mostrate per favore il procedimento algebrico da adottare? Il risultato dovrebbe essere $(x-2)/(2(x-1)^(3/2))$
Grazie mille!!
Analogamente, mi trovo in difficoltà anche nel calcolare la derivata di questa funzione: $f(x)=x/sqrt(x^2+3)$.
Sembra proprio che faccia lo stesso errore... ma chissà dove diavolo sbaglio?!
Vi riporto quello che ho fatto, son pronta a cazziatoni vari (graditissimi! )
$D(x)=1$ e $D(sqrt(x^2+3))=1/(2sqrt(x^2+3))$
$f'(x)=sqrt(x^2+3)-x/(2sqrt(x^2+3)$ tutto fratto $x^2+3$ (scusate, come al solito non son capace a scrivere una formula con questa "forma").
A questo punto a numeratore faccio: $(2-2xsqrt(x^2+3))/(2sqrtx^2+3)$. Sempre a numeratore "capovolgo" la frazione facendo $2-2xsqrt(x^2+3) 1/2sqrt(x^2+3)$ e semplifico, ottenendo in fin dei conti $(2-x)/(x^2+3)$.
Il che mi sembrava un risultato decente, tutta contenta vado a controllare se il risultato è quello che dovrebbe essere e... NO
dovrebbe venire $3/(x^2+3)^(3/2)$
Riuscite a farmi capire dove sbaglio?
Grazie infinite... spero che tra due giorni, non dovrò rompervi più le scatole (mercoledì ho l'esame )
Sembra proprio che faccia lo stesso errore... ma chissà dove diavolo sbaglio?!
Vi riporto quello che ho fatto, son pronta a cazziatoni vari (graditissimi!
)$D(x)=1$ e $D(sqrt(x^2+3))=1/(2sqrt(x^2+3))$
$f'(x)=sqrt(x^2+3)-x/(2sqrt(x^2+3)$ tutto fratto $x^2+3$ (scusate, come al solito non son capace a scrivere una formula con questa "forma").
A questo punto a numeratore faccio: $(2-2xsqrt(x^2+3))/(2sqrtx^2+3)$. Sempre a numeratore "capovolgo" la frazione facendo $2-2xsqrt(x^2+3) 1/2sqrt(x^2+3)$ e semplifico, ottenendo in fin dei conti $(2-x)/(x^2+3)$.
Il che mi sembrava un risultato decente, tutta contenta vado a controllare se il risultato è quello che dovrebbe essere e... NO
dovrebbe venire $3/(x^2+3)^(3/2)$Riuscite a farmi capire dove sbaglio?
Grazie infinite... spero che tra due giorni, non dovrò rompervi più le scatole
(mercoledì ho l'esame )
"Francesca.S":
$D(sqrt(x^2+3))=1/(2sqrt(x^2+3))$
È la derivata di una funzione composta, dunque devi moltiplicare per la derivata di $x^2+3$
"Francesca.S":
Secondo me hai fatto bene, ma non hai completato i calcoli.
Prima di tutto quando vuoi scrivere un numeratore ti consiglio di usare le parentesi tonde e includere i termini che vuoi includere (ciò vale anche per i termini al denominatore).
Detto questo hai ottenuto:
$ (sqrt(x-1)-(1/2)x(x-1)^(-1/2))/(x-1) $
Lo puoi scrivere quindi come:
$ (sqrt(x-1))/(x-1)-(1/2)x(x-1)^(-1/2)/(x-1) $
O meglio:
$1/(sqrt(x-1))-(x/(2sqrt((x-1)^3))) $
Se rimetti insieme tutto facendo il minimo comune multiplo ecc. Ottieni il risultato.
Se riesci fin qua ti consiglio di fare la seconda da sola (tra l'altro ho visto che andar ti ha detto praticamente cosa hai mancato) per riprovarci, poi se hai altri problemi vediamo.
"andar9896":
[quote="Francesca.S"] $ D(sqrt(x^2+3))=1/(2sqrt(x^2+3)) $
È la derivata di una funzione composta, dunque devi moltiplicare per la derivata di $ x^2+3 $
[/quote]Oddio, non ne avevo proprio la più pallida idea che fosse una funzione composta!!
Scusate la domanda poco seria, ma a un giorno dall'esame ormai non ho modo di studiare e capire un altro argomento...
Quindi, in soldoni, se mi trovo davanti ad una funzione fratta con a denominatore una radice con $x^2$ (come l'ultima funzione che vi ho postato, $f(x)=x/sqrt(x^2+3)$ ), è una funzione composta e quindi devo poi moltiplicare per la derivata del polinomio sotto radice. Mentre se ho una funzione fratta con a denominatore una radice con x di grado 1 (come la prima funzione postata, $f(x)=x/sqrt(x-1)$, non devo farlo e devo solo stare attenta a non sbagliare i calcoli??
Non fare guai, ho capito che devi fare l'esame, però prendi il libro e vatti a vedere la regola della derivazione di funzioni composte, senò non ne esci, perché puoi avere anche i casi di $ sin(x^2) $ Come lo derivi? Mica puoi fare riferimento alla radice... Quindi attenta, vediti la regola, impara la formula a memoria e applicala...
Ho riletto la lezione sulle funzioni composte e grosso modo il procedimento mi è chiaro.
Ad esempio, nessun problema su $sin(x^2)$: la funzione esterna è $sin(x)$, mentre la più interna $x^2$ e quindi la derivata sarà $cos(x^2) 2x$. Dico giusto?
Invece ho un vuoto proprio per quanto riguarda le funzioni composte con le radici: nelle varie lezioni online che ho letto non ne parla, parla solo di derivate di funzioni composte con $sin$, $ln$, ecc... ma guarda caso l'esame tipico che dà la mia prof ha proprio funzioni irrazionali fratte
Quindi ad esempio per la funzione $x/sqrt(x^2+3)$ mi avete detto che è una funzione composta: ma composta da cosa? Giusto per capire e magari generalizzare la cosa, altrimenti imparo a memoria la correzione per farla nel compito, ma poi non capisco... cosa che non è nel mio stile Grazie mille!!
Ad esempio, nessun problema su $sin(x^2)$: la funzione esterna è $sin(x)$, mentre la più interna $x^2$ e quindi la derivata sarà $cos(x^2) 2x$. Dico giusto?
Invece ho un vuoto proprio per quanto riguarda le funzioni composte con le radici: nelle varie lezioni online che ho letto non ne parla, parla solo di derivate di funzioni composte con $sin$, $ln$, ecc... ma guarda caso l'esame tipico che dà la mia prof ha proprio funzioni irrazionali fratte
Quindi ad esempio per la funzione $x/sqrt(x^2+3)$ mi avete detto che è una funzione composta: ma composta da cosa? Giusto per capire e magari generalizzare la cosa, altrimenti imparo a memoria la correzione per farla nel compito, ma poi non capisco... cosa che non è nel mio stile
Grazie mille!!
"Francesca.S":
Ho riletto la lezione sulle funzioni composte e grosso modo il procedimento mi è chiaro.
Ad esempio, nessun problema su $sin(x^2)$: la funzione esterna è $sin(x)$, mentre la più interna $x^2$ e quindi la derivata sarà $cos(x^2) 2x$. Dico giusto?
Invece ho un vuoto proprio per quanto riguarda le funzioni composte con le radici: nelle varie lezioni online che ho letto non ne parla, parla solo di derivate di funzioni composte con $sin$, $ln$, ecc... ma guarda caso l'esame tipico che dà la mia prof ha proprio funzioni irrazionali fratte
Quindi ad esempio per la funzione $x/sqrt(x^2+3)$ mi avete detto che è una funzione composta: ma composta da cosa? Giusto per capire e magari generalizzare la cosa, altrimenti imparo a memoria la correzione per farla nel compito, ma poi non capisco... cosa che non è nel mio stile
Quelle che hai detto tu è una funzione razionale fratta, da $ sqrt(x^(2)+3) $ quando la vai a derivare dei fare prima la derivata della funzione radice quadrata, come hai imparato a fare e poi quella della funzione $ (x^2+3) $ cioè senza radice, è come una matrioska, non so se hai presente...
Ah ovviamente devi applicare la regola della derivazione di un rapporto che è sempre la stessa: denominatore al quadrato eccetera.
Esempio:
$w=g(x)=x^2+3$
$y=f(w)=sqrt(w)=sqrt(x^2+3)$
$y'=f'(w)=1/(2sqrt(w))*w'=1/(2sqrt(w))*(2x)=1/(2sqrt(x^2+3))*(2x)$
$w=g(x)=x^2+3$
$y=f(w)=sqrt(w)=sqrt(x^2+3)$
$y'=f'(w)=1/(2sqrt(w))*w'=1/(2sqrt(w))*(2x)=1/(2sqrt(x^2+3))*(2x)$
Okkkk, grazie infinite!! Credo di aver capito!! 
Per fortuna mi avete fatto presente questa lacuna, altrimenti chi se ne accorgeva...
Per fortuna mi avete fatto presente questa lacuna, altrimenti chi se ne accorgeva...
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