Derivata destra e sinistra
sto cercando di fare un esercizio il cui testo e' il seguente:
data la funzione:
arctan(x) (per ogni x>1)
f(x) = ? (nel punto x=1)
pi/4 e^(x-1) (per ogni x<1)
trovare il valore da assegnare alla f(x) in x=1 affinche' sia continua.
Calcolare le derivate destra e sinistra di f in x=?1. Dire se f e' derivabile in questo punto.
la prima parte dell'esercizio e' abbastanza idiota. il punto e' pi/4
(pi=pigreco), ma la seconda parte mi lascia un po' perplesso.
per calcolare la derivata destra e sinistra della funzione nel punto x=1 devo usare la definizione di derivata applicandola prima alla formula della funzione per x>1 e poi per x<1 oppure posso calcolare il limite per x che tende a 1 (prima da destra e poi da sinistra) alle funzioni ricavate utilizzando le regole di derivazione?
insomma non ho proprio le idee chiarissime
grazie in anticipo per i consigli che spero di ricevere.
data la funzione:
arctan(x) (per ogni x>1)
f(x) = ? (nel punto x=1)
pi/4 e^(x-1) (per ogni x<1)
trovare il valore da assegnare alla f(x) in x=1 affinche' sia continua.
Calcolare le derivate destra e sinistra di f in x=?1. Dire se f e' derivabile in questo punto.
la prima parte dell'esercizio e' abbastanza idiota. il punto e' pi/4
(pi=pigreco), ma la seconda parte mi lascia un po' perplesso.
per calcolare la derivata destra e sinistra della funzione nel punto x=1 devo usare la definizione di derivata applicandola prima alla formula della funzione per x>1 e poi per x<1 oppure posso calcolare il limite per x che tende a 1 (prima da destra e poi da sinistra) alle funzioni ricavate utilizzando le regole di derivazione?
insomma non ho proprio le idee chiarissime
grazie in anticipo per i consigli che spero di ricevere.
Risposte
La prima che hai detto. Quando studi li limite per x che tende a 1+ devi studiare l’andamento della funzione “poco maggiore di 1” quindi quella definita per x>1, viceversa per x che tende a 1-. Quindi questa finzione non è derivabile.
WonderP.
Aggiungo il grafico nell'intorno di 1, anche se la discontinuità nella derivata si vede poco...
Modificato da - WonderP il 03/01/2004 16:56:39
WonderP.
Aggiungo il grafico nell'intorno di 1, anche se la discontinuità nella derivata si vede poco...
Modificato da - WonderP il 03/01/2004 16:56:39
credo di aver capito.
quindi essenzialmente devo fare:
limite per h che tende a zero da destra di (arctan(1+h)-arctan(1))/h
e
limite per h che tende a zero da sinistra di (pi/4 e^((1+h)-1) - pi/4)/h
e vedere se i risultati combaciano.
ma nn avrei potuto piu' semplicemente usare le formule di derivazione
e fare un confronto tra il
limite per x che tende a 1 da destra di 1/(1+x^2)
e
limite per x che tende a 1 da sinsitra di pi/4 e^(x-1)
(a livello di calcoli mi verrebbe sicuramente meglio)
o sto sbagliando tutto?
quindi essenzialmente devo fare:
limite per h che tende a zero da destra di (arctan(1+h)-arctan(1))/h
e
limite per h che tende a zero da sinistra di (pi/4 e^((1+h)-1) - pi/4)/h
e vedere se i risultati combaciano.
ma nn avrei potuto piu' semplicemente usare le formule di derivazione
e fare un confronto tra il
limite per x che tende a 1 da destra di 1/(1+x^2)
e
limite per x che tende a 1 da sinsitra di pi/4 e^(x-1)
(a livello di calcoli mi verrebbe sicuramente meglio)
o sto sbagliando tutto?
Si appunto devi fare
limite per x che tende a 1+ di 1/(1+x^2)
e
limite per x che tende a 1- di pi/4 e^(x-1)
Prima avevo capito che volevi fare il limite destro e sisistro di entrambe le parti della funzione (derivate delle funzioni).
limite per x che tende a 1+ di 1/(1+x^2)
e
limite per x che tende a 1- di pi/4 e^(x-1)
Prima avevo capito che volevi fare il limite destro e sisistro di entrambe le parti della funzione (derivate delle funzioni).
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