Derivata della funzione segno

[michele.assirelli]

Salve, devo derivare la funzione $f(x)=sgn(x^3-9x)(3x^2-9)+9 $
E mi chiedevo come fare per derivare la funzione segno

Siccome sapevo che la funzione segno fosse un numero allora avevo pensato che la sua derivata fosse 0, ma questo implicherebbe $f' (x) = 0 $, che non è però il risultato della derivata.

Digitando la funzione su Wolfram mi appare la derivata composta da diversi termini, tutti dipendenti da una variabile (che Wolfram chiama variabile di Dirac) tranne l'ultimo termine che sarebbe $6x sgn(x^3-9x) $ e che è effettivamente il risultato riportato dal libro.
Mi chiedevo come si giunge a questo risultato, sembrerebbe quasi che ci si arrivi derivando tutta la parte $f(x)$ esclusa la funzione segno, ma è effettivamente così?

[billyballo2123]

\[
f(x)=[sgn(x^3-9x)](3x^2-9)+9.
\]
Iniziamo con il dire che la funzione non è derivabile in $-3,0,3$ (dato che in quei punti non è nemmeno continua). Su tutti gli altri punti di $\mathbb{R}$, la funzione è derivabile e $sgn(x^3-9x)$ è costante sugli intervalli $(-\infty,-3)$, $(-3,0)$, $(0,3)$ e $(3,+\infty)$. Calcoliamo ora la derivata: tralasciando il "$+9$" che ovviamente ha come derivata zero, il resto della funzione è un prodotto, e dunque per la regola di Leibniz $(gh)'=g'h+gh'$, ove $g(x)=sgn(x^3-9x)$ e $h(x)=3x^2-9$. Però come dici tu, $g'(x)=0$ (dato che $g$ è costante), dunque rimane solo $g(x)h'(x)$ che è appunto $6x sgn(x^3-9x)$.