Derivata della funzione rect(*)
Salve, io so che la funzione rect(*) vale 1 durante il suo periodo T e 0 altrove ( non definita nei suoi due estremi -T/2 e T/2).
Derivandola il mio libro pone delle funzioni delta di dirac nei due estremi (per intenderci -T/2 e T/2) con le punte delle frecce volte in senso opposto. Perchè?
In teoria la delta di dirac non dovrebbe essere la derivata del gradino unitario ideale (non in senso ordinario).
Derivandola il mio libro pone delle funzioni delta di dirac nei due estremi (per intenderci -T/2 e T/2) con le punte delle frecce volte in senso opposto. Perchè?
In teoria la delta di dirac non dovrebbe essere la derivata del gradino unitario ideale (non in senso ordinario).
Risposte
Se ci pensi è:
\[
\operatorname{rect}(t) = \operatorname{u}(t+T/2) - \operatorname{u}(t-T/2)
\]
(ove \(\operatorname{u}(\cdot)\) è il gradino unitario) nel senso delle distribuzioni, quindi...
\[
\operatorname{rect}(t) = \operatorname{u}(t+T/2) - \operatorname{u}(t-T/2)
\]
(ove \(\operatorname{u}(\cdot)\) è il gradino unitario) nel senso delle distribuzioni, quindi...
La cosa assurda è che non ci hanno fatto studiare teoria delle distribuzioni quindi è impossibile capire come si deve procedere...
Beh, la derivata distribuzionale gode di tutte le proprietà usuali della derivata di Analisi I... Quindi, ad esempio, è lineare e perciò si ha:
\[
(\operatorname{rect}(t))^\prime = (\operatorname{u}(t+T/2))^\prime - (\operatorname{u}(t-T/2))^\prime\; .
\]
Ora, usando la definizione di derivata distribuzionale ed un cambiamento di variabile, si vede che:
\[
(\operatorname{u}(t\pm T/2))^\prime = \operatorname{u}^\prime (t\pm T/2) = \delta (t\pm T/2)
\]
(nota che c'è una specie di derivazione di funzione composta sotto questo risultato) ergo:
\[
(\operatorname{rect}(t))^\prime = \delta (t+T/2) - \delta (t-T/2)\; .
\]
\[
(\operatorname{rect}(t))^\prime = (\operatorname{u}(t+T/2))^\prime - (\operatorname{u}(t-T/2))^\prime\; .
\]
Ora, usando la definizione di derivata distribuzionale ed un cambiamento di variabile, si vede che:
\[
(\operatorname{u}(t\pm T/2))^\prime = \operatorname{u}^\prime (t\pm T/2) = \delta (t\pm T/2)
\]
(nota che c'è una specie di derivazione di funzione composta sotto questo risultato) ergo:
\[
(\operatorname{rect}(t))^\prime = \delta (t+T/2) - \delta (t-T/2)\; .
\]
Ciao a tutti, mi permetto di riprendere il post.
La derivata di t*rect(t) dovrebbe essere rect(t) + t*delta(t+0,5) - t*delta(t-0,5) ma a quanto ho capito alle t puó essere assegnato il valore numerico di + o - 0,5 ma perché ed in che modo?
La derivata di t*rect(t) dovrebbe essere rect(t) + t*delta(t+0,5) - t*delta(t-0,5) ma a quanto ho capito alle t puó essere assegnato il valore numerico di + o - 0,5 ma perché ed in che modo?
Detto in maniera becera, il tutto è dovuto alla proprietà di campionamento della $\delta$ (in termini ingegneristici).
Non me ne vogliano i matematici, ma qui di seguito uso la famigerata notazione ingegneristica (che, come noto, è solo una notazione mnemonica, priva di significato matematico quando applicata alle distribuzioni singolari).
Infatti, prendi una funzione \(a\in C^\infty\) e considera la distribuzione prodotto \(a(t)\ \delta(t)\): tale distribuzione per definizione agisce sul generico test \(\phi \in C_c^\infty\) come segue:
\[
\intop_{-\infty}^\infty a(t)\ \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t = \intop_{-\infty}^\infty \delta(t)\ \Big(a(t)\ \phi(t)\Big)\ \text{d} t = a(0)\ \phi(0)
\]
perché la funzione \(a\ \phi\) è a sua volta una funzione test; dato che \(\phi (0)=\intop_{-\infty}^\infty \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t\), la precedente si riscrive:
\[
\intop_{-\infty}^\infty a(t)\ \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t = a(0)\ \intop_{-\infty}^\infty \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t = \intop_{-\infty}^\infty a(0)\ \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t
\]
per ogni test \(\phi \in C_c^\infty\). Conseguentemente \(a(t)\ \delta (t) = a(0)\ \delta(t)\).
Analogamente, puoi provare da te che se l'impulso di Dirac è traslato in \(t_0\) si ha:
\[
a(t)\ \delta (t-t_0) = a(t_0)\ \delta(t-t_0)
\]
per ogni funzione \(a\in C^\infty\).
Nel tuo caso hai \(a(t)=t\) contro la derivata del \(\operatorname{rect} (t)\) che è costituita dai due impulsi, cioé \(\delta(t+1/2) - \delta(t-1/2)\), quindi:
\[
t\ \Big(\delta(t+1/2) - \delta(t-1/2)\Big) = -1/2\ \delta (t+1/2) - 1/2\ \delta(t-1/2) = -1/2\ \Big( \delta(t+1/2) + \delta(t-1/2)\Big)
\]
e conseguentemente:
\[
\Big( t\ \operatorname{rect} (t)\Big)^\prime = \operatorname{rect}(t) -1/2\ \Big( \delta(t+1/2) + \delta(t-1/2)\Big)\; .
\]
A questa conclusione si può anche arrivare graficamente: infatti il grafico di \(t\ \operatorname{rect}(t)\) è:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-2,0],[-0.5,0]); line([-0.5,-0.5],[0.5,0.5]); line([0.5,0],[2,0]);
stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([-0.5,0],[-0.5,-0.5]); line([0.5,0.5],[0.5,0]);[/asvg]
quindi la derivata distribuzionale vale \(0\) per \(t<-1/2\) e \(t>1/2\), vale \(1\) per \(-1/2
axes("","");
stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([-0.5,0],[-0.5,1]); line([0.5,1],[0.5,0]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
line([-2,0],[-0.5,0]); line([0.5,0],[2,0]); line([-0.5,1],[0.5,1]);
marker="arrow"; line([-0.5,0],[-0.5,-0.5]); line([0.5,0],[0.5,-0.5]);[/asvg]
Non me ne vogliano i matematici, ma qui di seguito uso la famigerata notazione ingegneristica (che, come noto, è solo una notazione mnemonica, priva di significato matematico quando applicata alle distribuzioni singolari).
Infatti, prendi una funzione \(a\in C^\infty\) e considera la distribuzione prodotto \(a(t)\ \delta(t)\): tale distribuzione per definizione agisce sul generico test \(\phi \in C_c^\infty\) come segue:
\[
\intop_{-\infty}^\infty a(t)\ \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t = \intop_{-\infty}^\infty \delta(t)\ \Big(a(t)\ \phi(t)\Big)\ \text{d} t = a(0)\ \phi(0)
\]
perché la funzione \(a\ \phi\) è a sua volta una funzione test; dato che \(\phi (0)=\intop_{-\infty}^\infty \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t\), la precedente si riscrive:
\[
\intop_{-\infty}^\infty a(t)\ \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t = a(0)\ \intop_{-\infty}^\infty \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t = \intop_{-\infty}^\infty a(0)\ \delta(t)\ \phi(t)\ \text{d} t
\]
per ogni test \(\phi \in C_c^\infty\). Conseguentemente \(a(t)\ \delta (t) = a(0)\ \delta(t)\).
Analogamente, puoi provare da te che se l'impulso di Dirac è traslato in \(t_0\) si ha:
\[
a(t)\ \delta (t-t_0) = a(t_0)\ \delta(t-t_0)
\]
per ogni funzione \(a\in C^\infty\).
Nel tuo caso hai \(a(t)=t\) contro la derivata del \(\operatorname{rect} (t)\) che è costituita dai due impulsi, cioé \(\delta(t+1/2) - \delta(t-1/2)\), quindi:
\[
t\ \Big(\delta(t+1/2) - \delta(t-1/2)\Big) = -1/2\ \delta (t+1/2) - 1/2\ \delta(t-1/2) = -1/2\ \Big( \delta(t+1/2) + \delta(t-1/2)\Big)
\]
e conseguentemente:
\[
\Big( t\ \operatorname{rect} (t)\Big)^\prime = \operatorname{rect}(t) -1/2\ \Big( \delta(t+1/2) + \delta(t-1/2)\Big)\; .
\]
A questa conclusione si può anche arrivare graficamente: infatti il grafico di \(t\ \operatorname{rect}(t)\) è:
[asvg]xmin=-1; xmax=1; ymin=-1; ymax=1;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-2,0],[-0.5,0]); line([-0.5,-0.5],[0.5,0.5]); line([0.5,0],[2,0]);
stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([-0.5,0],[-0.5,-0.5]); line([0.5,0.5],[0.5,0]);[/asvg]
quindi la derivata distribuzionale vale \(0\) per \(t<-1/2\) e \(t>1/2\), vale \(1\) per \(-1/2
axes("","");
stroke="grey"; strokewidth=0.5; line([-0.5,0],[-0.5,1]); line([0.5,1],[0.5,0]);
stroke="dodgerblue"; strokewidth=2;
line([-2,0],[-0.5,0]); line([0.5,0],[2,0]); line([-0.5,1],[0.5,1]);
marker="arrow"; line([-0.5,0],[-0.5,-0.5]); line([0.5,0],[0.5,-0.5]);[/asvg]
Sei stato molto dettagliato. Ti ringrazio 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo