Derivata della funzione inversa nel punto y

[pingu1986]

Determinare, se esiste, la derivata della funzione inversa nel punto y=e della funzione f(x)= e^x + lnx

Se qualcuno può mettere anche l'intero procedimento e ragionamento..
grazie

[pingu1986]

nessuno che mi sa rispondere..sembra strano..io sto impazzendo cercando di risolvere questo esercizio...voi???

[pingu1986]

come mai nessuno mi risponde...mi sembra strano

[Russell1]

Intanto osserviamo che $f$ è una funzione monotona strettamente crescente, quindi invertibile. Se $g$ è la sua inversa ricorderai che $g'(y)=1/(f'(x))$ dove chiaramente si chiede che $y=f(x)$. Osserviamo che $f(1)=e$ e pertanto $g'(e)=1/(f'(1))=1/(e+1)$

[pingu1986]

so il teorema della derivata iversa che dato dalla quella formula...
se so che y=f(x)...devo trovarmi la x in funzione della y...
poi andare a fare la derivata prima di f^-1 nel punto x trovato..
ora mi spieghi meglio come dovrei procedere...
grazie mille sono disperato!!!

[ViciousGoblin]

"pingu1986":Determinare, se esiste, la derivata della funzione inversa nel punto y=e della funzione f(x)= e^x + lnx

Se qualcuno può mettere anche l'intero procedimento e ragionamento..
grazie

Dunque se $f(x)=e^x+\ln(x)$ si vede che $f$ è crescente, dunque invertibile. Inoltre $f(1)=e^1+\ln(1)=e$.
Questo sigmifica che $f^{-1}(e)=1$. Applicando il teorema sulla derivata dell'inversa si ha
$D(f^{-1})(e)=\frac{1}{f'(1)}$
Dato che $f'(x)=e^x+\frac{1}{x}$ viene $f'(1)=e+1$ e quindi $D(f^{-1})(e)=\frac{1}{e+1}$

OOops , c'era già la risposta...

[Russell1]

Non occorre conoscere del tutto la funzione inversa... anche perchè invertire la $f$ che hai dato tu non è semplice! Poichè $f$ è monotona strettamente crescente deduciamo che è invertibile (dovrebbe esserti noto, altrimenti cerca nella teoria). Una funzione è invertibile se e solo se è sia iniettiva che suriettiva (anche questo fatto va dimostrato) e quindi sappiamo che esiste al più un solo $x$ tale che $f(x)=e$. E' immediato vedere che quest'unico $x$ è $1$ (bisogna indovinarlo, ma siamo sicuri che non ce ne sono altri). Quindi se $g$ è l'(unica)inversa di $f$ sappiamo che $g(e)=1$ per il semplice fatto che $f(1)=e$. Conosciamo $f$ in modo completo e quindi ricaviamo facilmente $f'(1)=e+1$. Per sapere $g'(e)$ non serve conoscere nè $g$ nè $g'$... basta calcolare $1/(f'(1))$. Il testo infatti non ti chiede di calcolare $g'$, bensì di valutare questa funzione in un punto ben preciso, cioè $e$.

[pingu1986]

scusatemi ma come fa a venire x=1! mi spiegate bene questo passaggio??

[Fioravante Patrone1]

@pingu1986

Vediamo un po':
- non usi MathML
- hai fatto due "up", di cui uno pochi minuti dopo il precedente
- non dici come faresti tu ma vuoi che gli altri ti descrivano in dettaglio il procedimento
- hai già posto un problema molto simile cui un utente del forum ha risposto in modo dettagliato, senza che tu gli dicessi né grazie, né se la sua risposta ti era servita, nulla

Morale: questa è una casa comune, ma il tuo comportamento non sembra tenerne conto.
Ti invito a riconsiderare il tuo modo di agire in questo forum.

Grazie per la comprensione.

[pingu1986]

scusami tanto..
sono stressato per questo esame di matematica che dovrò sostenere domani..
chiedo scusa a tutti gli utenti..
spero che una volta fatto questo esame potrò tornare in questo sito per dare il mio contributo...
speriamo bene
un sincero grazie a tutti quelli che collaborano a rendere questo sito il migliore di tutti..
sinceramente..
pingu

[Fioravante Patrone1]

Grazie per la risposta.

"pingu1986":scusatemi ma come fa a venire x=1! mi spiegate bene questo passaggio??

Provo a rispondere.
Nel post iniziale parli di:
y=e della funzione f(x)= e^x + lnx

Ma se sai che $y=f(x)=e$, e se sai che $f(x) = e^x + \ln x$, puoi osservare che sostituendo $1$ ad $x$ ottieni proprio il valore $e$.

Non sono certo che sia questo quello che chiedi, però.

[Russell1]

"pingu1986":scusatemi ma come fa a venire x=1! mi spiegate bene questo passaggio??

Questo $x=1$ non si ottiene con alcun conto... Ti ho scritto tra parentesi che bisogna "indovinarlo": di solito si vede ad occhio, ed anche in questo caso è così! Una volta appurato che $f(1)=e$, dove l'$1$ è nato da un po' di fantasia, puoi proseguire con il resto del ragionamento...