Derivata della funzione inversa in un punto
Sia \(\displaystyle f(x)=log( \frac{x}{e}\ +x) \), essa ammette \(\displaystyle (f^{-1})'(e) \) la quale vale: \(\displaystyle \frac{e}{1+e}\ \)
Ma per quale motivo?
La derivata dell'inversa è:
\(\displaystyle (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0)}\)
Non avendo il benedetto \(\displaystyle x_0 \) solitamente in quesiti del genere basta fare \(\displaystyle f'(0) => (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(0)} \)...Non in questo caso.
In questo caso non riesco proprio a giungere a quel risultato. Né spezzando il logaritmo, né lasciandolo in quella forma.
Ma per quale motivo?
La derivata dell'inversa è:
\(\displaystyle (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(y_0)}\)
Non avendo il benedetto \(\displaystyle x_0 \) solitamente in quesiti del genere basta fare \(\displaystyle f'(0) => (f^{-1})'(y_0)=\frac{1}{f'(0)} \)...Non in questo caso.
In questo caso non riesco proprio a giungere a quel risultato. Né spezzando il logaritmo, né lasciandolo in quella forma.
Risposte
Ciao.
Forse ho sbagliato io qualche conto, ma a me verrebbe $(f^{-1}')(e)=(e^(e+1))/(1+e)$.
Infatti:
$y=f(x)=log(x/e+x) Rightarrow x/e+x=e^y Rightarrow x=e^(y+1)/(1+e)=g(y)=f^(-1)(y)$
In sostanza si tratterebbe di calcolare $g'(e)$.
Allora:
$g'(y)=1/(d/dxf(x))=1/((1/(x/e+x))*(1/e+1))=(x/e+x)/(1/e+1)=e^y/(1/e+1)=e^(y+1)/(1+e)$
Per cui:
$(f^{-1}')(e)=g'(e)=(e^(e+1))/(1+e)$
Saluti.
Forse ho sbagliato io qualche conto, ma a me verrebbe $(f^{-1}')(e)=(e^(e+1))/(1+e)$.
Infatti:
$y=f(x)=log(x/e+x) Rightarrow x/e+x=e^y Rightarrow x=e^(y+1)/(1+e)=g(y)=f^(-1)(y)$
In sostanza si tratterebbe di calcolare $g'(e)$.
Allora:
$g'(y)=1/(d/dxf(x))=1/((1/(x/e+x))*(1/e+1))=(x/e+x)/(1/e+1)=e^y/(1/e+1)=e^(y+1)/(1+e)$
Per cui:
$(f^{-1}')(e)=g'(e)=(e^(e+1))/(1+e)$
Saluti.
Mi sa che l'errore è tutto mio... Ho fatto casino con l'editor di testo mentre aprivo la discussione e ho inserito la x dentro la parentesi...
La funzione da esaminare era: $log(e/x)+x$
In questo caso si avrebbe:
$e^y=x/e+e^x$ oppure, trattando il $log$ come differenza di logaritmi si avrebbe $e^y=x-1+e^x$
Non so più continuare, la x anche sull'esponenziale mi manda in crisi.
La funzione da esaminare era: $log(e/x)+x$
In questo caso si avrebbe:
$e^y=x/e+e^x$ oppure, trattando il $log$ come differenza di logaritmi si avrebbe $e^y=x-1+e^x$
Non so più continuare, la x anche sull'esponenziale mi manda in crisi.
Nessun problema, commettiamo tutti degli errori a volte (io ne ho appena commesso uno madornale in un'altra discussione...!).
Veniamo al problema:
$y=log(e/x)+x=loge -logx +x=1+x-logx$
Si osservi che $f(e)=1+e-loge=e$
Il "guaio" di questa funzione è che non si riesce a ricavare l'espressione che evidenzi (in termini di funzioni elementari) il modo in cui $x$ dipenda da $y$, però $f(x)$ dovrebbe essere invertibile in un intorno del punto $e$ (la funzione ha derivata prima positiva in tutti i punti di un opportuno intorno di $e$), per cui, considerando la funzione inversa $g(y)$ (almeno "vicino" a $e$), si avrebbe:
$g'(y)=1/(d/dxf(x))=1/(1-1/x)=x/(x-1)=g(y)/(g(y)-1)$,
con $g(e)=e$, poichè $f(e)=e$
quindi:
$g'(e)=g(e)/(g(e)-1)=e/(e-1)$
Però non viene esattamente il "tuo" risultato.
Saluti.
Veniamo al problema:
$y=log(e/x)+x=loge -logx +x=1+x-logx$
Si osservi che $f(e)=1+e-loge=e$
Il "guaio" di questa funzione è che non si riesce a ricavare l'espressione che evidenzi (in termini di funzioni elementari) il modo in cui $x$ dipenda da $y$, però $f(x)$ dovrebbe essere invertibile in un intorno del punto $e$ (la funzione ha derivata prima positiva in tutti i punti di un opportuno intorno di $e$), per cui, considerando la funzione inversa $g(y)$ (almeno "vicino" a $e$), si avrebbe:
$g'(y)=1/(d/dxf(x))=1/(1-1/x)=x/(x-1)=g(y)/(g(y)-1)$,
con $g(e)=e$, poichè $f(e)=e$
quindi:
$g'(e)=g(e)/(g(e)-1)=e/(e-1)$
Però non viene esattamente il "tuo" risultato.
Saluti.
Errare umanum est, sed perseverare...okay, il concetto è che sono un idiota. 
ho sbagliato nuovamente.
Ho invertito log ed x....La funzione è questa:
$f(x)=log(x/e)+x$
$f(x)=log(x/e)+x=logx-loge +x=x+logx-1$ $=>f'(x)=1/x+1=(x+1)/x$
$g'(y_0)=1/(d/dxf(x))=1/{(x+1)/x}=x/(x+1)$ $=>g'(e)=e/(e+1)$ cioè il risultato del primo post.
Chiedo nuovamente scusa. E ti ringrazio per il tempo che mi hai dedicato.
Buona domenica.
ho sbagliato nuovamente. Ho invertito log ed x....La funzione è questa:
$f(x)=log(x/e)+x$
$f(x)=log(x/e)+x=logx-loge +x=x+logx-1$ $=>f'(x)=1/x+1=(x+1)/x$
$g'(y_0)=1/(d/dxf(x))=1/{(x+1)/x}=x/(x+1)$ $=>g'(e)=e/(e+1)$ cioè il risultato del primo post.
Chiedo nuovamente scusa. E ti ringrazio per il tempo che mi hai dedicato.
Buona domenica.
Nessun problema, al più si potrà dire che oggi sei un po' sbadato.
Quello che conta è che l'idea, ora, ti sia chiara.
Saluti.
Quello che conta è che l'idea, ora, ti sia chiara.
Saluti.
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