Derivata della funzione inversa e derivata del log
ciao a tutti. ho qualche problema a comprendere i passaggi della dimostrazione che portano alla derivata della funzione inversa e quindi alla derivata della funzione logaritmo. qualcuno potrebbe spiegarmele? grazie e buona giornata.
Risposte
Segnala quali passaggi esattamente ti confondono.
Paola
Paola
sinceramente non capisco in cosa consiste la derivata dell'inversa, di conseguenza non capisco il primo passaggio in assoluto della derivata del logaritmo visto come inversa dell'esponenziale...
Ti fornisce una formula semplice (una volta capita con un esempio, perlomeno) per calcolare la derivata di una funzione nel momento in cui conosci la derivata della sua funzione inversa. Diciamo che in questo modo ti basta imparare la metà delle derivate fondamentali 
!
La formula dice: $\displaystyle D(f^{-1})(y)=\frac{1}{D(f)(f^{-1}(y))}$.
Vediamo l'esempio con l'esponenziale: sia $f(x)=e^x \Rightarrow f^{-1}(y)=log y$.
Vogliamo calcolare la derivata del logaritmo nel punto generico $y$ applicando la formula.
Prima di tutto dobbiamo calcolare la derivata $D(f)(x)= e^x$. Dopo di che dobbiamo applicarla nel punto $f^{-1}(y)=log y$:
$D(f)(f^{-1}(y))=e^{log y}=y$.
Perciò applicando la formula avremo
$D(f^{-1})(y)=1/y$.
Se vuoi puoi provare a fare gli stessi passaggi usando $f(x)=tan x$ per trovare la formula della derivata dell'arcotangente, come allenamento.
Paola
!La formula dice: $\displaystyle D(f^{-1})(y)=\frac{1}{D(f)(f^{-1}(y))}$.
Vediamo l'esempio con l'esponenziale: sia $f(x)=e^x \Rightarrow f^{-1}(y)=log y$.
Vogliamo calcolare la derivata del logaritmo nel punto generico $y$ applicando la formula.
Prima di tutto dobbiamo calcolare la derivata $D(f)(x)= e^x$. Dopo di che dobbiamo applicarla nel punto $f^{-1}(y)=log y$:
$D(f)(f^{-1}(y))=e^{log y}=y$.
Perciò applicando la formula avremo
$D(f^{-1})(y)=1/y$.
Se vuoi puoi provare a fare gli stessi passaggi usando $f(x)=tan x$ per trovare la formula della derivata dell'arcotangente, come allenamento.
Paola
Chiedo scusa, ho anch'io una domanda da fare su questo argomento e su questa formula, apro una nuova discussione o chiedo qui?
Vabè io intanto chiedo, poi eventualmente se devo chiedere da un'altra parte me lo dite (anche se penso che vada bene visto che nel frattempo ho fatto un'altra domanda su un'altra cosa su una discussione già aperta e nessuno mi ha detto che non si poteva fare) :
l'enunciato a parole della "regola" della derivata della funzione inversa è "la derivata della funzione inversa è uguale al reciproco della derivata della funzione diretta", e in simboli è $f^(-1)'(x)=1/f'(x)$ .
Questa formula che ho scritto adesso è equivalente a $f^(-1)'(x)=1/f'(f^(-1)(x))$ ? Perchè ad esempio, in ogni sito in cui sono andata a cercare e in ogni libro che ho, quando viene trattato questo argomento, le derivate di arcsenx e arccosx vengono dimostrate con la prima formula che ho scritto, mentre la derivata di lnx con la seconda. Ho provato ad applicare la prima pensando che le due formule fossero equivalenti, ma non viene, e non capisco perchè, quindi mi è venuto il dubbio che le due formule non siano equivalenti; è da ieri pomeriggio che cerco su internet ma spiegano tutti solo come si trovano quelle derivate, lasciando per scontata questa cosa che invece a me continua a sfuggire..
Grazie in anticipo
Valentina
l'enunciato a parole della "regola" della derivata della funzione inversa è "la derivata della funzione inversa è uguale al reciproco della derivata della funzione diretta", e in simboli è $f^(-1)'(x)=1/f'(x)$ .
Questa formula che ho scritto adesso è equivalente a $f^(-1)'(x)=1/f'(f^(-1)(x))$ ? Perchè ad esempio, in ogni sito in cui sono andata a cercare e in ogni libro che ho, quando viene trattato questo argomento, le derivate di arcsenx e arccosx vengono dimostrate con la prima formula che ho scritto, mentre la derivata di lnx con la seconda. Ho provato ad applicare la prima pensando che le due formule fossero equivalenti, ma non viene, e non capisco perchè, quindi mi è venuto il dubbio che le due formule non siano equivalenti; è da ieri pomeriggio che cerco su internet ma spiegano tutti solo come si trovano quelle derivate, lasciando per scontata questa cosa che invece a me continua a sfuggire..
Grazie in anticipo
Valentina
Devo postare da un'altra parte...?
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