Derivata della funzione generalizzata $|x|^\alpha$
Sto leggendo il libro 'An introduction to Fourier analysis and generalized functions' di Lighthill.
Perdonatemi se la domanda è praticamente rivolta solo a coloro che hanno letto il testo in oggetto, ma le definizioni e i teoremi che dovrei riportare sono un pò troppi e non è una via praticabile se non si conosce già l'approccio teorico dell'autore.
Comunque, non mi è chiaro ciò che egli scrive alla prima pagina del capitolo 3:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|^\alpha = |x|^{\alpha-1} \text{sgn}(x) \)
La funzione $f(x)=|x|^\alpha$ (\(\displaystyle \alpha>-1 \)), intesa nel senso classico, non è derivabile in 0 quando $\alpha <1$. Se la intendiamo come funzione generalizzata secondo l'impostazione di Lighthill (definizione 7 del suo libro), allora la sua derivata esiste e va calcolata in generale derivando la successione di 'good functions' che definisce la funzione generalizzata $f(x)$ (che indico con lo stesso simbolo).
Tuttavia lui fa una cosa diversa, affermando che il risultato della derivata sopra scritto ($f'(x)=|x|^{\alpha-1} \text{sgn}(x)$) si può ottenere derivando direttamente la funzione $f(x)$ intendendola nel senso classico, per poi sfruttare il teorema 10.
Il mio dubbio è: le ipotesi del teorema 10 non valgono in questo caso, poiché la derivata in senso classico $f'(x)$ non esiste in 0, e quindi la funzione non è derivabile in tutti i punti del suo dominio di definizione, cosa necessaria per l'applicazione del teorema.
Perdonatemi se la domanda è praticamente rivolta solo a coloro che hanno letto il testo in oggetto, ma le definizioni e i teoremi che dovrei riportare sono un pò troppi e non è una via praticabile se non si conosce già l'approccio teorico dell'autore.
Comunque, non mi è chiaro ciò che egli scrive alla prima pagina del capitolo 3:
\(\displaystyle \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}|x|^\alpha = |x|^{\alpha-1} \text{sgn}(x) \)
La funzione $f(x)=|x|^\alpha$ (\(\displaystyle \alpha>-1 \)), intesa nel senso classico, non è derivabile in 0 quando $\alpha <1$. Se la intendiamo come funzione generalizzata secondo l'impostazione di Lighthill (definizione 7 del suo libro), allora la sua derivata esiste e va calcolata in generale derivando la successione di 'good functions' che definisce la funzione generalizzata $f(x)$ (che indico con lo stesso simbolo).
Tuttavia lui fa una cosa diversa, affermando che il risultato della derivata sopra scritto ($f'(x)=|x|^{\alpha-1} \text{sgn}(x)$) si può ottenere derivando direttamente la funzione $f(x)$ intendendola nel senso classico, per poi sfruttare il teorema 10.
Il mio dubbio è: le ipotesi del teorema 10 non valgono in questo caso, poiché la derivata in senso classico $f'(x)$ non esiste in 0, e quindi la funzione non è derivabile in tutti i punti del suo dominio di definizione, cosa necessaria per l'applicazione del teorema.
Risposte
Se \(\alpha >1\) non ci sono problemi, la funzione a membro destro è continua ovunque. Per il resto, che cosa sarebbe questo "teorema 10"? Non so, comunque si tratta di verificare direttamente, via integrazione per parti, che quella è la derivata distribuzionale corretta. È chiaro che non ci saranno problemi, perché per \(\alpha>-1\) il membro destro è localmente integrabile, ma a rigore occorre verificare.
Ciao Silent,
Provo a tradurre il testo dall'inglese all'italiano.
DEFINIZIONE 7. Se $f(x) $ è una funzione di $x$ in senso ordinario, tale che la funzione $(1 + x^2)^{-N} f(x) $ sia assolutamente integrabile da $-\infty $ a $+\infty$ per qualche $N$, allora la funzione generalizzata $f(x) $ è definita da una successione $f_n(x) $ tale che per qualsiasi funzione buona $F(x) $
$\lim_{n \to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x) F(x) \text{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F(x) \text{d}x $
NOTA. L'integrale sulla destra è l'integrale in senso ordinario, il quale esiste come l'integrale del prodotto di $(1 + x^2)^{- N} f(x) $, che è assolutamente integrabile, e $(1 + x^2)^N F(x) $ che è una funzione buona. Quando la funzione generalizzata $f(x) $ è stata definita, questo integrale ha un significato anche nella teoria delle funzioni generalizzate e l'equazione di cui sopra stabilisce che i due significati sono lo stesso.
TEOREMA 10. Se $f(x) $ è una funzione ordinaria differenziabile tale che sia $f(x) $ che $f'(x) $ soddisfino le condizioni della DEFINIZIONE 7, allora la derivata della funzione generalizzata formata da $f(x) $ è la funzione generalizzata formata da $f'(x) $.
DIMOSTRAZIONE. Questo teorema, che mostra che la la notazione $f'(x) $ può essere usata senza rischio di confusione, segue dal fatto che entrambe le sue definizioni soddisfano l'equazione
$\int_{-\infty}^{+\infty} f'(x) F(x) \text{d}x = - \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F'(x) \text{d}x $
per qualsiasi funzione buona $F(x) $. Con la seconda definizione l'equazione scritta assume che $f(x) F(x) \to 0 $ per $x \to +\infty $ o per $x \to -\infty $. Comunque, il prodotto deve tendere a qualche limite finito in ogni caso, dato che esiste
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F'(x) \text{d}x + \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x) F(x) \text{d}x $
da cui entrambi i limiti devono essere $0$, dato che esiste $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F(x) \text{d}x $
Provo a tradurre il testo dall'inglese all'italiano.
DEFINIZIONE 7. Se $f(x) $ è una funzione di $x$ in senso ordinario, tale che la funzione $(1 + x^2)^{-N} f(x) $ sia assolutamente integrabile da $-\infty $ a $+\infty$ per qualche $N$, allora la funzione generalizzata $f(x) $ è definita da una successione $f_n(x) $ tale che per qualsiasi funzione buona $F(x) $
$\lim_{n \to +\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f_n(x) F(x) \text{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F(x) \text{d}x $
NOTA. L'integrale sulla destra è l'integrale in senso ordinario, il quale esiste come l'integrale del prodotto di $(1 + x^2)^{- N} f(x) $, che è assolutamente integrabile, e $(1 + x^2)^N F(x) $ che è una funzione buona. Quando la funzione generalizzata $f(x) $ è stata definita, questo integrale ha un significato anche nella teoria delle funzioni generalizzate e l'equazione di cui sopra stabilisce che i due significati sono lo stesso.
TEOREMA 10. Se $f(x) $ è una funzione ordinaria differenziabile tale che sia $f(x) $ che $f'(x) $ soddisfino le condizioni della DEFINIZIONE 7, allora la derivata della funzione generalizzata formata da $f(x) $ è la funzione generalizzata formata da $f'(x) $.
DIMOSTRAZIONE. Questo teorema, che mostra che la la notazione $f'(x) $ può essere usata senza rischio di confusione, segue dal fatto che entrambe le sue definizioni soddisfano l'equazione
$\int_{-\infty}^{+\infty} f'(x) F(x) \text{d}x = - \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F'(x) \text{d}x $
per qualsiasi funzione buona $F(x) $. Con la seconda definizione l'equazione scritta assume che $f(x) F(x) \to 0 $ per $x \to +\infty $ o per $x \to -\infty $. Comunque, il prodotto deve tendere a qualche limite finito in ogni caso, dato che esiste
$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F'(x) \text{d}x + \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x) F(x) \text{d}x $
da cui entrambi i limiti devono essere $0$, dato che esiste $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F(x) \text{d}x $
Grazie ragazzi.
Premesso che ancora non ho capito perché l'autore fa questo ragionamento (secondo me si può concludere in un secondo che quel limite fa 0 perché $F$ è buona e $\frac{f(x)}{(1+x^2)^N}$ è assolutamente integrabile):
...credo di aver comunque capito come risolvere il mio dubbio in [1]: basta pensare in termini di primitive generalizzate e notare ciò di cui mi ero accorto qualche anno fa qui: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=198751
Premesso che ancora non ho capito perché l'autore fa questo ragionamento (secondo me si può concludere in un secondo che quel limite fa 0 perché $F$ è buona e $\frac{f(x)}{(1+x^2)^N}$ è assolutamente integrabile):
"pilloeffe":
Comunque, il prodotto deve tendere a qualche limite finito in ogni caso, dato che esiste
$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F'(x) \text{d}x + \int_{-\infty}^{+\infty} f'(x) F(x) \text{d}x $
da cui entrambi i limiti devono essere $ 0 $, dato che esiste $ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) F(x) \text{d}x $
...credo di aver comunque capito come risolvere il mio dubbio in [1]: basta pensare in termini di primitive generalizzate e notare ciò di cui mi ero accorto qualche anno fa qui: https://www.matematicamente.it/forum/vi ... 6&t=198751
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