Derivata della convoluzione

[Injo]

Volevo qualche indicazione per poter dimostrare una proprietà vista a lezione ma non dimostrata, ovvero che [tex]\frac{\partial (u * J_\epsilon)}{\partial x_j} = \frac{\partial u}{\partial x_j} * J_\epsilon[/tex] dove [tex]*[/tex] indica la convoluzione. Dopo aver detto che [tex]\frac{\partial (u * J_\epsilon)}{\partial x_j} = \int_{\mathbb R^n} \frac{\partial J_\epsilon}{\partial x_j}(x-y)u(y)dy[/tex], che praticamente si ha per definizione, non so come passare ad avere [tex]\int_{\mathbb R^n} J_\epsilon (x-y) \frac{\partial u}{\partial x_j}(y)dy[/tex], forma che mi da [tex]\frac{\partial u}{\partial x_j} * J_\epsilon[/tex].

Sapreste darmi una mano? Grazie.

[gugo82]

Integrazione per parti, ad esempio?
Casomai dopo una restrizione al supporto del mollificatore... Si tratta di fare una prova, ma dovrebbe funzionare.

[dissonance]

@Injo: Se hai problemi ad integrare per parti in $RR^n$, si può fare un discorso di rapporto incrementale. Considera il rapporto incrementale di $u \star J$. Con un cambio di variabile ti accorgi che è uguale al prodotto di convoluzione del rapporto incrementale di $u$ per $J$. Con una opportuna applicazione del teorema di convergenza dominata si dimostra che questa uguaglianza si conserva al limite, ovvero che la derivata di $u \star J$ è uguale a ${\partial u} /{\partial x_j} \star J$.

[alle.fabbri]

ma non basta tenere presente che la convoluzione è commutativa?
quindi si può scrivere anche come
$u*J_e = \int u(x-y)J_e(y)dy$
da cui deriva direttamente la formula che cerchi derivando.