Derivata del modulo e modulo della derivata
Salve, mi servirebbe un piccolo aiuto da perte vostra; qualcuno sa quali sono le condizioni che posso permettere di eseguire questo tipo di operazione:
\(\displaystyle |\frac{df(x)}{dt}|=\frac{d|f(x)|}{dt} \) ??
Grazie 1000 a tutti
Saluti
\(\displaystyle |\frac{df(x)}{dt}|=\frac{d|f(x)|}{dt} \) ??
Grazie 1000 a tutti
Saluti
Risposte
Mmm...non penso che sia un qualcosa di così facile da stabilire 
In pratica ti stai chiedendo quando
\[|f'(x)|=D[|f(x)|]=f'(x)\cdot \text{sgn}\,f(x)\]
ovvero cerchi le soluzioni dell'equazione differenziale
\[|y'|=y'\text{sgn}\, y\]
che puoi riscrivere come
\[\text{sgn}\, y'=\text{sgn}\, y\]
se supponi $y'\ne 0$. Così, su due piedi, non riesco a pensare a qualcosa di ragionevolmente fattibile Comunque, detto a parole, puoi fare quell'operazione, a quanto pare, se $f'(x)\ne 0$ $\forall x\in \text{Dom}\, f$ e la tua funzione ha lo stesso segno della sua derivata 
oppure se $f(x)=\text{cost.}$
Curiosità: come mai ti sei posto il problema?
In pratica ti stai chiedendo quando\[|f'(x)|=D[|f(x)|]=f'(x)\cdot \text{sgn}\,f(x)\]
ovvero cerchi le soluzioni dell'equazione differenziale
\[|y'|=y'\text{sgn}\, y\]
che puoi riscrivere come
\[\text{sgn}\, y'=\text{sgn}\, y\]
se supponi $y'\ne 0$. Così, su due piedi, non riesco a pensare a qualcosa di ragionevolmente fattibile
Comunque, detto a parole, puoi fare quell'operazione, a quanto pare, se $f'(x)\ne 0$ $\forall x\in \text{Dom}\, f$ e la tua funzione ha lo stesso segno della sua derivata oppure se $f(x)=\text{cost.}$ Curiosità: come mai ti sei posto il problema?
Beh, mi serviva per dimostrare questo fatto:
ho due punti, P1 e P2, la cui distanza tra loro è data dal modulo del vettore spostamento: \(\displaystyle |\overrightarrow{P_{1}P_{2}}| \)
Prendendo un corpo rigido questa distanza deve restare inalterata.
So inoltre che
\(\displaystyle |\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|\cdot|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|=|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|^{2}=cost \)
Essendo la derivata un operatore che mi indica il tasso di variabilità di un determinato fenomeno o funzione che lo identifica, posso imporre:
\(\displaystyle \frac{d|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|^{2}}{dt}=0 \)
Sviluppando i calcoli ottengo che:
\(\displaystyle \frac{d|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|^{2}}{dt}=2\cdot|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|\cdot\frac{d|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|}{dt}=0 \) (1)
Adesso per la definizione di prodotto vettoriale so che:
\(\displaystyle \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u}|sina \)
dove a è l'angolo compreso tra i due vettori.
Per arrivare a dire che la 1 sia un'espressione analoga al prodotto vettoriale, mi servirebbe dire che la derivata del modulo del vettore spostamento fosse sempre positiva, cosa di cui non sono certo in modo assoluto.
Da qui la necessita di tale teorema....
Per caso hai una soluzione più semplice a questo problema ?
ho due punti, P1 e P2, la cui distanza tra loro è data dal modulo del vettore spostamento: \(\displaystyle |\overrightarrow{P_{1}P_{2}}| \)
Prendendo un corpo rigido questa distanza deve restare inalterata.
So inoltre che
\(\displaystyle |\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|\cdot|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|=|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|^{2}=cost \)
Essendo la derivata un operatore che mi indica il tasso di variabilità di un determinato fenomeno o funzione che lo identifica, posso imporre:
\(\displaystyle \frac{d|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|^{2}}{dt}=0 \)
Sviluppando i calcoli ottengo che:
\(\displaystyle \frac{d|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|^{2}}{dt}=2\cdot|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|\cdot\frac{d|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|}{dt}=0 \) (1)
Adesso per la definizione di prodotto vettoriale so che:
\(\displaystyle \overrightarrow{v}\times\overrightarrow{u}=|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{u}|sina \)
dove a è l'angolo compreso tra i due vettori.
Per arrivare a dire che la 1 sia un'espressione analoga al prodotto vettoriale, mi servirebbe dire che la derivata del modulo del vettore spostamento fosse sempre positiva, cosa di cui non sono certo in modo assoluto.
Da qui la necessita di tale teorema....
Per caso hai una soluzione più semplice a questo problema ?
Secondo me su una funzione senza particolari patologie in un intorno del punto, esplicitando il concetto di limite del rapporto incrementale, si può estrarre qualcosa.
Come diceva Plepp però, non penso che si possa trovare una relazione globale per tutti o comunque una gran parte di punti.
Ad esempio considera che in qualsiasi punto in cui la funzione $f$ si annulla, $|f'(x)|$, apparte cuspidi, punti angolosi e discontinuità esiste. Non esiste invece la derivata della funzione $g(x) = |f(x)|$ in quanto in quel punto avrà di sicuro un punto angoloso.
EDIT: Non avevo visto la tua risposta
Come diceva Plepp però, non penso che si possa trovare una relazione globale per tutti o comunque una gran parte di punti.
Ad esempio considera che in qualsiasi punto in cui la funzione $f$ si annulla, $|f'(x)|$, apparte cuspidi, punti angolosi e discontinuità esiste. Non esiste invece la derivata della funzione $g(x) = |f(x)|$ in quanto in quel punto avrà di sicuro un punto angoloso.
EDIT: Non avevo visto la tua risposta
"Catanzani":
ho due punti, P1 e P2, la cui distanza tra loro è data dal modulo del vettore spostamento: \(\displaystyle |\overrightarrow{P_{1}P_{2}}| \)
Prendendo un corpo rigido questa distanza deve restare inalterata.
So inoltre che
\(\displaystyle |\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|\cdot|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|=|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|^{2}=cost \)
Essendo la derivata un operatore che mi indica il tasso di variabilità di un determinato fenomeno o funzione che lo identifica, posso imporre:
\(\displaystyle \frac{d|\overrightarrow{P_{1}P_{2}}|^{2}}{dt}=0 \)
Mah, sarà che non ho capito, ma non è che lo devi imporre il fatto che sia $(d|\mathbf{P}_1\mathbf{P}_2|)/(dx)=0$...se $|\mathbf{P}_1\mathbf{P}_2|=\text{cost}$, è chiaro che la sua derivata è zero
Si, questo è ovvio, ma devo partire da questa ovvietà per giungere ad una definizione che mi possa permettere di determinare quando un corpo è rigido.
Ma scusa, cosa vuol dire che
?
la 1 sia un'espressione analoga al prodotto vettoriale
?
"Catanzani":
Si, questo è ovvio, ma devo partire da questa ovvietà per giungere ad una definizione che mi possa permettere di determinare quando un corpo è rigido.
Colpiscilo con una testata
No a parte gli scherzi. Un corpo è rigido quando i suoi punti non si spostano gli uni rispetto agli altri (o rispetto ad un punto che consideri come polo)
Per Plepp:
che se dimostro la 1 essere un'espressione analoga a quella generale del prodotto vettoriale, allora posso arrivare a dire che i vettori coinvolti sono ortogonali tra loro.
Ho però trovato un modo per spiegarmi quello che mi serviva, vediamo se vi convinco.
La funzione che mi descrive il vettore spostamento tra due punti è una funzione di 2 variabili, ed è la seguente:
\(\displaystyle f(x,y)=tx+(1-t)y \)
dove t è un parametro compreso tra 0 ed 1, estremi compresi (in modo da comprendere tutti i punti che si trovano sulla retta congiungente P1 e P2).
Facendo le derivate parziali prima rispetto ad x e poi y si ottengono rispettivamente i valori t e (1-t). Le derivate parziali sono sempre strettamente maggiori di zero, il che mi permette di considerare la derivata di tale vettore come un valore assoluto, non assumendo mai valori negativi.
Pensate che possa andar bene?
Grazie tante
che se dimostro la 1 essere un'espressione analoga a quella generale del prodotto vettoriale, allora posso arrivare a dire che i vettori coinvolti sono ortogonali tra loro.
Ho però trovato un modo per spiegarmi quello che mi serviva, vediamo se vi convinco.
La funzione che mi descrive il vettore spostamento tra due punti è una funzione di 2 variabili, ed è la seguente:
\(\displaystyle f(x,y)=tx+(1-t)y \)
dove t è un parametro compreso tra 0 ed 1, estremi compresi (in modo da comprendere tutti i punti che si trovano sulla retta congiungente P1 e P2).
Facendo le derivate parziali prima rispetto ad x e poi y si ottengono rispettivamente i valori t e (1-t). Le derivate parziali sono sempre strettamente maggiori di zero, il che mi permette di considerare la derivata di tale vettore come un valore assoluto, non assumendo mai valori negativi.
Pensate che possa andar bene?
Grazie tante
"Catanzani":
La funzione che mi descrive il vettore spostamento tra due punti è una funzione di 2 variabili, ed è la seguente:
\(\displaystyle f(x,y)=tx+(1-t)y \)
Grazie tante
Mah, mi pare un po' macchinoso...se $P_1=P_1(t)=(x_1(t),y_1(t))$ e $P_2=P_2(t)=(x_2(t),y_2(t))$ ($t$ è il tempo), allora il vettore che descrive il moto di $P_2$ rispetto a $P_1$ è
\[P_r(t)=P_2(t)-P_1(t)=\big(x_2(t)-x_1(t), y_2(t)-y_1(t)\big)\]
Se desideri che la posizione reciproca dei due punti non vari, dev'essere $P_r=\text{costante}$, ovvero
\[
\begin{cases}
x_2(t)-x_1(t)=\text{costante}\\
y_2(t)-y_1(t)=\text{costante}
\end{cases}
\]
il che significa $P_r'(t)=\mathbf{0}$ ($=(0,0)$), cioè
\[
\begin{cases}
\dfrac{d[x_2(t)-x_1(t)]}{dt}=0\\
\dfrac{d[y_2(t)-y_1(t)]}{dt}=0
\end{cases}
\]
Mi pare inutile tirare in ballo il modulo di $P_r$...A questo punto sposterei in Fisica
Si, lo so anche io che il tutto fa banalmente zero, ma questo mi serve per affermare poi dopo delle conclusioni....
comunque grazie per il vostro tempo...
Saluti
comunque grazie per il vostro tempo...
Saluti
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