Derivata debole/spazi di Sobolev
Ciao a tutti, vorrei chiedere un aiuto su un argomento con il quale mi sto da poco cimentando: mi si richiede di stabilire per quali $\alpha\in \R, p>=1$ la funzione $f(x)=|log|x||^\alpha, x\inR^n$ sta nello spazio di Sobolev $W^{1,p}(B_{frac{1}{2}}(0))$. $( B_{frac{1}{2}}(0)=:B$ è la bolla centrata in zero e raggio $frac{1}{2} )$.
Per prima cosa ho verificato quando $f(x)\in L^{p}(B)$ e a riguardo ho una prima questione (stupidotta direi):
trovandomi a lavorare con $\int_{B} | log|x| |^{p\alpha} dx $, opererei il cambiamento di variabile $|x|=r$.
E' corretto scrivere che il mio integrale diventa $C\int_{0}^{\frac{1}{2}}|log r|^{p\alpha}r^{n-1}dr$, dove $C$ è una costante che dipende dalla dimensione?
In tal caso, poichè $n>0$ avrei esistenza dell'integrale per ogni $\alpha\in \R, p>=1$.
Ho poi derivato e calcolato $|Df|$ che risulta essere $\alpha \frac{|log|x||^{\alpha-1}}{|x|}$
Andando a verificare quando si ha la $p-$integrabilità e operando la stessa sostituzione di cui sopra ottengo
$C'\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{|logr|^{p\alpha-p}}{r^{2-n}}dr$ che esiste finito per $n=1$ e $p\alpha-p+1<0$ oppure $n>1$ per ogni $p>=1, \alpha \in \R$.
Quadra quanto scritto finora? Se sì proseguirei andando a verificare che le derivate deboli esistono e coincidono con quelle classiche su tutta la bolla $B$. E' il modo giusto di procedere?
Per prima cosa ho verificato quando $f(x)\in L^{p}(B)$ e a riguardo ho una prima questione (stupidotta direi):
trovandomi a lavorare con $\int_{B} | log|x| |^{p\alpha} dx $, opererei il cambiamento di variabile $|x|=r$.
E' corretto scrivere che il mio integrale diventa $C\int_{0}^{\frac{1}{2}}|log r|^{p\alpha}r^{n-1}dr$, dove $C$ è una costante che dipende dalla dimensione?
In tal caso, poichè $n>0$ avrei esistenza dell'integrale per ogni $\alpha\in \R, p>=1$.
Ho poi derivato e calcolato $|Df|$ che risulta essere $\alpha \frac{|log|x||^{\alpha-1}}{|x|}$
Andando a verificare quando si ha la $p-$integrabilità e operando la stessa sostituzione di cui sopra ottengo
$C'\int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{|logr|^{p\alpha-p}}{r^{2-n}}dr$ che esiste finito per $n=1$ e $p\alpha-p+1<0$ oppure $n>1$ per ogni $p>=1, \alpha \in \R$.
Quadra quanto scritto finora? Se sì proseguirei andando a verificare che le derivate deboli esistono e coincidono con quelle classiche su tutta la bolla $B$. E' il modo giusto di procedere?
Risposte
Mi sembra manchi un \(p\) nell'esponente al denominatore per il gradiente...
Ad ogni modo, il ragionamento è corretto ma andrebbe giustificato un po' meglio.
Ad ogni modo, il ragionamento è corretto ma andrebbe giustificato un po' meglio.
Hai ragione mi sono perso un $p$ nel denominatore, grazie.
Paradossalmente la parte che mi lasciava più dubbi era la sostituzione integrale perchè non riuscivo a trovare conferme
Ora sistemo forma e contenuti!
Paradossalmente la parte che mi lasciava più dubbi era la sostituzione integrale perchè non riuscivo a trovare conferme
Ora sistemo forma e contenuti!
Per il passaggio in polari (che è giusto così), puoi vedere Evans, P.D.E., Appendix 2.
Ok darò un occhio, grazie mille davvero. Buona serata e a risentirci!
Sfrutto questo topic già aperto per un'altra questione:
si chiede quando esiste una soluzione debole al problema $(1)$
$Lu+\mu u=f $ in $\Omega$
$u=g$ su $\partial\Omega$
dove $\Omega$ è un aperto di $\R^n$, $\mu$ un numero reale, $L$ un operatore differenziale del secondo ordine uniformemente ellittico con coefficienti limitati e $f,g$ funzione scelte in un opportuno spazio di Hilbert.
Ho pensato di sfruttare il risultato noto per il problema omogeneo, vale a dire che
$(\star)$ $\exists \gamma \in \R$ tale che per ogni $\mu>=\gamma$ esiste un'unica soluzione debole in $H_0^1(\Omega)$ di $(2)$
$Lu+\mu u=f $ in $\Omega$
$u=0$ su $\partial\Omega$
qualunque sia il dato assegnato $f\inL^2(\Omega)$.
Dunque, per $f\inL^2(\Omega)$, $g\inH^1(\Omega)$, prendendo spunto da un'osservazione di Evans, riscrivo $(1)$ come
$L\tildeu+\mu\tildeu=\tildef$ in$\Omega$
$\tildeu=0$ su $\partial\Omega$
dove $\tildeu:=u-g,$ $\tilde{f} :=f-Lg-\mug$
Avendo ricondotto $(1)$ alla forma omogenea $(2)$ applico $(\star)$ che mi garantisce esistenza e unicità di una soluzione debole per $\mu>=\gamma$
Può funzionare il ragionamento?
Inoltre, vedo che anche su Evans si applica l'operatore $L$ a una funzione in $H^1(\Omega)$ (nel mio caso ho $Lg$ ), ma ha senso questa cosa? Cioè, applico un operatore differenziale del secondo ordine ad una funzione di cui so esistere le derivate deboli fino all'ordine uno.
Grazie per l'aiuto!
si chiede quando esiste una soluzione debole al problema $(1)$
$Lu+\mu u=f $ in $\Omega$
$u=g$ su $\partial\Omega$
dove $\Omega$ è un aperto di $\R^n$, $\mu$ un numero reale, $L$ un operatore differenziale del secondo ordine uniformemente ellittico con coefficienti limitati e $f,g$ funzione scelte in un opportuno spazio di Hilbert.
Ho pensato di sfruttare il risultato noto per il problema omogeneo, vale a dire che
$(\star)$ $\exists \gamma \in \R$ tale che per ogni $\mu>=\gamma$ esiste un'unica soluzione debole in $H_0^1(\Omega)$ di $(2)$
$Lu+\mu u=f $ in $\Omega$
$u=0$ su $\partial\Omega$
qualunque sia il dato assegnato $f\inL^2(\Omega)$.
Dunque, per $f\inL^2(\Omega)$, $g\inH^1(\Omega)$, prendendo spunto da un'osservazione di Evans, riscrivo $(1)$ come
$L\tildeu+\mu\tildeu=\tildef$ in$\Omega$
$\tildeu=0$ su $\partial\Omega$
dove $\tildeu:=u-g,$ $\tilde{f} :=f-Lg-\mug$
Avendo ricondotto $(1)$ alla forma omogenea $(2)$ applico $(\star)$ che mi garantisce esistenza e unicità di una soluzione debole per $\mu>=\gamma$
Può funzionare il ragionamento?
Inoltre, vedo che anche su Evans si applica l'operatore $L$ a una funzione in $H^1(\Omega)$ (nel mio caso ho $Lg$ ), ma ha senso questa cosa? Cioè, applico un operatore differenziale del secondo ordine ad una funzione di cui so esistere le derivate deboli fino all'ordine uno.
Grazie per l'aiuto!
"In tal caso, poichè n>0 avrei esistenza dell'integrale per ogni α∈R,p≥1." qualcuno mi potrebbe spiegare perchè mi basta n>0 per poter dire che l'integrale è finito e quindi la funzione sta in $L^p$? grazie
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo