Derivata debole

[metafix]

Salve a tutti,

ho la seguente distribuzione:

f(x) = 4x^3 +|x|

quanto vale la sua derivata debole?

E' plausibile che sia una roba tipo 12x^2 + u(t) + u(-t) ?

Dove u(t) è la funzione gradino, definita con la doppia legge:

u(t) vale 1 , per t>0 - vale 0 , altrove

mentre

u(-t) vale 1 , per t<0 - vale 0 , altrove

Ed, inoltre, c'è qualche possibilità che f'(x) risulti uguale a 12x^2 + 2u(t) ?

Grazie per l'attenzione!

[Luca.Lussardi]

E possibile sì visto che la funzione "gradino" (io la chiamo di solito Heaviside) è la derivata distribuzionale del valore assoluto.

[Kroldar]

"metafix":
E' plausibile che sia una roba tipo 12x^2 + u(t) + u(-t) ?

Occhio al segno... il risultato è $12t^2 + u(t) - u(-t) = 12t^2 + sgn(t)$

[metafix]

Giusto, $12t^2 + u(t) - u(-t) = 12t^2 + sgn(t)$
avevo riportato male il segno.
Ma quindi è anche corretto il risultato 12x^2 + 2u(t)?
Il mio dilemma è questo: ad un certo punto, dopo vari passaggi derivati dall'applicazione della definizione di derivata debole, detta g(x) una funzione ad hoc, tipo una funzione di classe Cinfinito, a decrescenza rapida, ed f(x) = 4x^3 +|x|, mi risulta che:

integrale da -inf a +inf di [ f'(x)g(x)dx ] = integrale da -inf a +inf di (12x^2) - integrale da -inf a zero di [g(x)dx] + integrale da zero a +inf di [g(x)dx]


Se nel pezzo di mezzo, ovvero - integrale da -inf a zero di [g(x)dx], cambio di segno e quindi inverto gli estremi di integrazione, ottengo + integrale da zero a +inf di [g(x)dx], che sommato al terzo pezzo che è pure + integrale da zero a +inf di [g(x)dx] mi risulta, infine:
integrale da -inf a +inf di (12x^2) + 2 volte integrale da -inf a zero di [g(x)dx].

Quadra?

[Kroldar]

"metafix":Giusto, $12t^2 + u(t) - u(-t) = 12t^2 + sgn(t)$
avevo riportato male il segno.
Ma quindi è anche corretto il risultato 12x^2 + 2u(t)?

Assolutamente no. Il risultato corretto è $12t^2 + sgn(t)$ che è ben diverso da $12t^2 + 2u(t)$

[Kroldar]

"metafix":Se nel pezzo di mezzo, ovvero - integrale da -inf a zero di [g(x)dx], cambio di segno e quindi inverto gli estremi di integrazione, ottengo + integrale da zero a +inf di [g(x)dx], che sommato al terzo pezzo che è pure + integrale da zero a +inf di [g(x)dx] mi risulta, infine:
integrale da -inf a +inf di (12x^2) + 2 volte integrale da -inf a zero di [g(x)dx].
Quadra?

No, in generale non è vero, infatti

$- int_(-oo)^0 g(t) dt = int_0^(-oo) g(t) dt != int_0^(+oo) g(t) dt$

Quello che dici tu è vero magari se $g(t)$ è una funzione dispari.

[metafix]

Ok, capito il mio errore, era una roba di trascrizione; avevo scritto:

-$int_(-oo)^0g(t)dt = +int_0^(+oo)g(t)dt$

cioè ho cambiato di segno e quindi ho scambiato l'ordine degli estremi di integrazione... Solo che in questa operazione, ho riscritto male il segno dell'infinito che mi è magicamente diventato un +inf... E quindi mi veniva fuori un u(t) piuttosto che u(-t).
Thanks to all