Derivata da capogiro

[Newton_1372]

Non chiedetemi di postare anche un tentativo. Ho riempito pagine e pagine di fogli con il risultato che, ormai ,stremato, sono affetto da 1). Mal di testa 2). Raffreddore 3). Febbre 4). Shock anafilattico

Premessa. L'obiettivo sarebbe quella di trovare i punti cuspidali, i punti angolosi e i flessi a tangente verticale. La funzione è la seguente

[math] f(x)=x^{\frac{3}{5}}(1+x)^{\frac{2}{5}} [/math]

Aggiunto 3 minuti più tardi:

Posto qualcosa, tanto per farvi notare la mia buona volontà. Il limite del rapporto incrementale è

[math] f(x)'=\lim_{h=0} \frac{(x+h)^{\frac{3}{5}}(1+x+h)^{\frac{2}{5}}-x^{\frac{3}{5}}(1+x)^{\frac{2}{5}}}{h}[/math]

Aggiunto 15 minuti più tardi:

in un disperato tentativo ho raccolto

[math] x^{\frac{3}{5}}(1+x)^{\frac{2}{5}}[/math]

. Scrivo tutto in forma di radice, mi sembra piu comodo

[math]f'(x)=\frac{\sqrt[5]{\frac{(x+h)^3(1+x+h)^2}{x^3(1+x)^2}}-1}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[5]{\left(\frac{x+h}{x}\right)^3\left(\frac{1+x+h}{1+x}\right)^2}-1}{h}[/math]

Aggiunto 2 minuti più tardi:

Purtroppo sarebbe na specie di si. Le operazioni con le derivate sono introdotte solo DOPO

Aggiunto 20 minuti più tardi:

FORMA INDETERMINATA"! SEMPRE STA STRAMALEDETTA FORMA INDETERMINATA!:(

Aggiunto 17 ore 50 minuti più tardi:

C'è qualcuno?

Aggiunto 23 ore 33 minuti più tardi:

SOB!

[BIT5]

Ma devi calcolarla necessariamente con il rapporto incrementale?

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Credimi non riesco, ma ci ho provato.

Aggiunto 31 secondi più tardi:

Chiedo aiuto a chi ti puo' aiutare :)

[ciampax]

La funzione è

[math]f(x)=x^{3/5}\cdot(1+x)^{2/5}[/math]

ed è definita dappertutto. Derivando una volta hai

[math]f'(x)=\frac{3}{5}\cdot x^{-2/5}\cdot(1+x)^{2/5}+x^{3/5}\cdot\frac{2}{5}\cdot(1+x)^{-3/5}=\\ \frac{3}{5}\left(\frac{x+1}{x}\right)^{2/5}+\frac{2}{5}\left(\frac{x}{x+1}\right)^{3/5}[/math]

e quindi

[math]f'(x)=\frac{1}{5}\left[3\left(\frac{x+1}{x}\right)^{2/5}+2\left(\frac{x}{x+1}\right)^{3/5}\right][/math]

Per determinare monotonia ed altro, usa la disequazione

[math]f'(x)\geq 0[/math]

. Per prima cosa osserva che, nei punti

[math]x=0,\ x=-1[/math]

ci saranno problemi a causa della presenza di quei termini a denominatore nelle frazioni. Per agevolare i calcoli, poniamo

[math]t=\left(\frac{x}{x+1}\right)^{1/5}[/math]

: allora la disequazione da studiare risulta

[math]\frac{3}{t^2}+2t^3\geq 0\ \Rightarrow\ \frac{3+2t^5}{t^2}\geq 0[/math]

che conduce a

[math]-\sqrt[5]{\frac{3}{2}}\leq t0[/math]

. A questo punto, ricordando la posizione fatta per

[math]t[/math]

abbiamo

[math]\frac{x}{x+1}\geq -\frac{3}{2},\qquad \frac{x}{x+1}\neq 0[/math]

e anche qui, risolvendo, otteniamo che

[math]f'(x)\geq 0[/math]

se e solo se

[math]x

[enrico___1]

Complimenti ciampax per la risposta