Derivata con variabile complessa
come si deriva una funzione con variabile complessa?
Risposte
Come una funzione di variabile reale: la derivata prima, se esiste, è il limite del rapporto incrementale.
come si deriva una funzione con variabile complessa?
Già la derivazione in se non cambia nulla....
L'unica cosa sono le condizioni per le quali esiste la derivata che sono "simpatiche".
Inoltre..altra cosa "simpatica" una funzione con variabili complesse se è derivabile una volta lo è infinite volte....
lo chiedevo perchè ho visto un espressione $(delf)/(delz)$ derivata parziale in variabile complessa, come si calcola?
Mi sembrava di aver già risposto, si calcola come limite del rapporto incrementale; è la stessa cosa che la derivata ordinaria, di una funzione reale, solo che il rapporto incrementale è in C anzichè in R.
no,no c'è proprio un espressione 1/2.... e poi derivate parziali in x e y vorrei sapere come ci si arriva. grazie
ohi guillame, potresti scrivere la formula cui ti riferisci?
Probabilmente scrivendo $f$ nella sua componente reale ed immaginaria. Attendiamo conferma.
forse ti riferisci alla condizione di Cauchy-Riemann, che abbinata alla differenziabilità della $f(x,y)$ associata a $f(z)$ ponendo $z=x+jy$ dà la condizione necessaria e sufficiente di derivabilità (olomorfia) per le funzioni complesse di variabile complessa?
$(delf)/(delz)=1/2((delu)/(delx)+(delv)/(dely))+i1/2((delu)/(delx)-(delv)/(dely))$ non so se ho messo bene i segni....più o meno così u e v sono parte reale e immmaginaria di f rispettivamente
@kroldar: penso di sì
@kroldar: penso di sì
Probabilmente ci sarà qualche $v$ oltre a $u$; classicamente la notazione dovrebbe essere $f=u+iv$.
ehm si è vero ora edito
ora torna tutto... quella formula non è altro che una riscrittura della condizione di Cauchy-Riemann scrivendo $f(z)=f(x,y)$ come somma una parte reale $u(x,y)$ e di una parte immaginaria $jv(x,y)$ dunque come ha detto luca $f=u+jv$... in questo modo la condizione di Cauchy-Riemann, che è un'uguaglianza tra quantità complesse, viene resa da un sistema di due equazioni tra quantità reali: $u_x=v_y$ e $u_y=-v_x$
Ciò rende più semplice la dimostrazione di alcune proprietà delle funzioni olomorfe, ad esempio una funzione olomorfa in un aperto connesso è costante se: 1) è reale 2) è immaginaria 3) il suo modulo è costante 4) il suo argomento è costante
Si dimostra inoltre che $u$ e $v$ sono funzioni armoniche
Ciò rende più semplice la dimostrazione di alcune proprietà delle funzioni olomorfe, ad esempio una funzione olomorfa in un aperto connesso è costante se: 1) è reale 2) è immaginaria 3) il suo modulo è costante 4) il suo argomento è costante
Si dimostra inoltre che $u$ e $v$ sono funzioni armoniche
Se scrivi il rapporto incrementale dando solo un incremento reale trovi
$f'(z)=(delu)/(delx)+i(delv)/(delx)$;
se dai un incremento immaginario puro trovi
$f'(z)=-i(delu)/(dely)+(delv)/(dely)$.
Da $f'(z)=1/2(f'(z)+f'(z))$, usando le due trovate trovi
$f'(z)=1/2((delu)/(delx)+(delv)/(dely))+i/2((delv)/(delx)-(delu)/(dely))$.
$f'(z)=(delu)/(delx)+i(delv)/(delx)$;
se dai un incremento immaginario puro trovi
$f'(z)=-i(delu)/(dely)+(delv)/(dely)$.
Da $f'(z)=1/2(f'(z)+f'(z))$, usando le due trovate trovi
$f'(z)=1/2((delu)/(delx)+(delv)/(dely))+i/2((delv)/(delx)-(delu)/(dely))$.
ecco, non capisco però il senso di derivare parzialmente in variabile complessa, che cosa cambia rispetto a $(delf)/(delx)$ oppure $(delf)/(dely)$? oltre a x e y esiste forse un'altra variabile z in questo caso?
Attenzione, io ho derivato $u$ e $v$ che sono funzioni reali di variabili reali; ovvero fai i limiti dei rapporti incrementali reali. Invece quando fai $f'(z)$ fai il limite del rapporto incrementale, ma rapporto scritto in $C$, non in $R$. E non torna la stessa cosa, $C$ non è $R$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo