Derivata con valore assoluto
Salve a tutti vorrei sapere come si risolve questa derivata:
$D arcsin |x/(x+1)| $
se non ci fosse il valore assoluto la risolverei senza problemi ma quant'è la derivata del valore assoluto?
$D arcsin |x/(x+1)| $
se non ci fosse il valore assoluto la risolverei senza problemi ma quant'è la derivata del valore assoluto?
Risposte
ciao
per derivare una funzione col valore assoluto puoi utilizzare la formula:
$D(|f(x)|)=(|f(x)|)/f(x)*f'(x)$
per derivare una funzione col valore assoluto puoi utilizzare la formula:
$D(|f(x)|)=(|f(x)|)/f(x)*f'(x)$
Quindi diventa
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)/(x/(x+1))*(1)/(x+1)^2)/(sqrt(1-(|x/(x+1)|)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*((x+1)/x)*(1)/(x+1)^2)/(sqrt(1-(|x/(x+1)|)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt(1-(|x/(x+1)|)^2))$
e adesso?
siccome il valore assoluto sotto la radice è al quadrato posso togliere il valore assoluto?
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)/(x/(x+1))*(1)/(x+1)^2)/(sqrt(1-(|x/(x+1)|)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*((x+1)/x)*(1)/(x+1)^2)/(sqrt(1-(|x/(x+1)|)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt(1-(|x/(x+1)|)^2))$
e adesso?
siccome il valore assoluto sotto la radice è al quadrato posso togliere il valore assoluto?
Ma la derivata la devi calcolare per esercizio o per la determinazione di eventuali punti di minimo/massimo? In quest'ultimo caso la cosa sarebbe abbastanza semplice.
No no per esercizio
Il modulo sotto radice lo puoi togliere (essendo quel rapporto al quadrato). Ovviamente, se ho ben capito cosa vuoi fare, stai attento quando porti fuori qualcosa dalla radice.
Ah ok...allora proseguo
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt(1-(|x/(x+1)|)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt(1-x^2/(x+1)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt((2x+1)/(x+1)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt(2x+1)/(x+1))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $|x/(x+1)|*(1)/(x(x+1))*(x+1)/sqrt(2x+1)$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $|x/(x+1)|*(1)/(x(sqrt(2x+1))$
ora si può fare qualcosa sul valore assoluto o finisce così?
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt(1-(|x/(x+1)|)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt(1-x^2/(x+1)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt((2x+1)/(x+1)^2))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $((|x/(x+1)|)*(1)/(x(x+1)))/(sqrt(2x+1)/(x+1))$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $|x/(x+1)|*(1)/(x(x+1))*(x+1)/sqrt(2x+1)$
$D arcsin|x/(x+1)|$ = $|x/(x+1)|*(1)/(x(sqrt(2x+1))$
ora si può fare qualcosa sul valore assoluto o finisce così?
Non è un caso che ti abbia consigliato di fare attenzione a ciò che porti fuori radice, infatti:
[tex]\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|[/tex]
Tutto quello che stai facendo, inoltre, ti ricordo che vale nel dominio della funzione di partenza.
[tex]\sqrt{(x+1)^2}=|x+1|[/tex]
Tutto quello che stai facendo, inoltre, ti ricordo che vale nel dominio della funzione di partenza.
"el principe":
Salve a tutti vorrei sapere come si risolve questa derivata:
$D arcsin |x/(x+1)| $
se non ci fosse il valore assoluto la risolverei senza problemi ma quant'è la derivata del valore assoluto?
Ciò che hai fatto va bene, ma credo che tu possa arrivare più velocemente alla soluzione notando che $|x/(x+1)|=segno(x/(x+1))*x/(x+1)$
e il segno vale $+-1$ (e la derivata di una costante è la costante stessa).
Per comodità di notazione scrivo $|x/(x+1)|=x/(x+1)*sign$ dove sign vale $+-1$
Ora la derivata di $arcsen(ky)=k/sqrt(1-(ky)^2)$ e quindi in questo caso (dato che $(sign)^2=1$) ho $D arcsin |x/(x+1)|=(sign)/sqrt(1-(x/(x+1))^2)*D(x/(x+1))$.
E ora sfruttando i calcoli che hai in parte già fatto arrivi velocemente alla soluzione
Grazie Misanino 
Quindi usando la formula ottengo:
$D arcsin |x/(x+1)|=(sign)/sqrt(1-(x/(x+1))^2)*D(x/(x+1))$
$D arcsin |x/(x+1)|=1/((x+1)^2 * sqrt(1-(x/(x+1))^2))$
$D arcsin |x/(x+1)|=1/((x+1)^2 * sqrt((2x+1)/(x+1)^2))$
$D arcsin |x/(x+1)|=1/((x+1)^2 * sqrt(2x+1)/|x+1|)$
ora posso semplificare il modulo con (x+1)^2 anche se non è in valore assoluto?
Quindi usando la formula ottengo:
$D arcsin |x/(x+1)|=(sign)/sqrt(1-(x/(x+1))^2)*D(x/(x+1))$
$D arcsin |x/(x+1)|=1/((x+1)^2 * sqrt(1-(x/(x+1))^2))$
$D arcsin |x/(x+1)|=1/((x+1)^2 * sqrt((2x+1)/(x+1)^2))$
$D arcsin |x/(x+1)|=1/((x+1)^2 * sqrt(2x+1)/|x+1|)$
ora posso semplificare il modulo con (x+1)^2 anche se non è in valore assoluto?
"el principe":
Grazie Misanino
Quindi usando la formula ottengo:
$D arcsin |x/(x+1)|=(sign)/sqrt(1-(x/(x+1))^2)*D(x/(x+1))$
$D arcsin |x/(x+1)|=1/((x+1)^2 * sqrt(1-(x/(x+1))^2))$
$D arcsin |x/(x+1)|=1/((x+1)^2 * sqrt((2x+1)/(x+1)^2))$
Bene fin qua, a parte che ti sei perso $sign$!!
Cioè al posto di 1 a numeratore c'è sign.
Quindi sei arrivato a $(sign)/((x+1)^2 * sqrt((2x+1)/(x+1)^2))$
Ora porti $(x+1)^2$ dentro la radice e hai $(sign)/ sqrt(((2x+1)*(x+1)^4)/(x+1)^2))$
che fa $(sign)/ sqrt((2x+1)*(x+1)^2)$
cioè rimettendo ciò che era sign:
$(segno(x/(x+1)))/sqrt((2x+1)*(x+1)^2)$
Ora si può fare ancora meglio poichè:
$(segno(x/(x+1)))/sqrt((2x+1)*(x+1)^2)=(segno(x/(x+1)))/(sqrt(2x+1)*|(x+1)|)=(segno(x/(x+1)))/(sqrt(2x+1)*segno(x+1)*(x+1))=(segno(x))/(segno(x+1)*sqrt(2x+1)*segno(x+1)*(x+1))=(segno(x))/(sqrt(2x+1)*(x+1))$
Ah si scusa è vero 
e segno di x alla fine che rappresenterebbe?
e segno di x alla fine che rappresenterebbe?
"el principe":
Ah si scusa è vero
e segno di x alla fine che rappresenterebbe?
Segno(x) è il segno di x e basta, cioè vale 1 se $x>0$ e vale $-1$ se $x<0$.
Il tutto si può scrivere in mille modi diversi ma tutti uguali.
Tenendo conto che $|x|=segno(x)*x$ e quindi $segno(x)=|x|/x$ puoi scrivere che il risultato è:
$(segno(x))/(sqrt(2x+1)*(x+1))$
oppure
$|x|/(x*sqrt(2x+1)*(x+1))$
oppure
${(1/(sqrt(2x+1)*(x+1)),if x>0),(-1/(sqrt(2x+1)*(x+1)),if x<0):}$
Scegli tu ciò che vuoi
Ah si ora ho capito cos'è segnox infatti noi usiamo la notazione $x/|x|$
Grazie mille x il tuo aiuto misanino
Grazie mille x il tuo aiuto misanino
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