Derivata con limite
Buonasera a tutti, ho una funzione in due variabili :
$ f(x,y) = ( log(1+x^2y))/(sqrt(x^2+y^2))$ e devo studiare la derivabilità nel punto $(x_0,y_0) = (0,0)$
La funzione è continua nell'origine (ho controllato) e vale proprio $0$, dunque posso calcolarne la derivata impostando il :
$lim_{h\to\0} ( f(x+h, y) - f(x_0,y_0))/h$
$lim_{ h\to\0} (log ( 1 + y(x+h)^2))/(hsqrt((x+h)^2 +y^2))$
Ora mi chiedevo se fosse possibile "dividere" il limite così :
$lim_{h\to\0} (log(1+y(x+h)^2))/h * lim_{h\to\0} 1/(sqrt((x+h)^2 +y^2))$
Se così fosse, noto che il primo limite non può esiste, in quanto i limiti destro e sinistro non coincidono. Dunque posso concludere che la funzione non ammette derivata in $(0,0)$.
E' tutto corretto?
$ f(x,y) = ( log(1+x^2y))/(sqrt(x^2+y^2))$ e devo studiare la derivabilità nel punto $(x_0,y_0) = (0,0)$
La funzione è continua nell'origine (ho controllato) e vale proprio $0$, dunque posso calcolarne la derivata impostando il :
$lim_{h\to\0} ( f(x+h, y) - f(x_0,y_0))/h$
$lim_{ h\to\0} (log ( 1 + y(x+h)^2))/(hsqrt((x+h)^2 +y^2))$
Ora mi chiedevo se fosse possibile "dividere" il limite così :
$lim_{h\to\0} (log(1+y(x+h)^2))/h * lim_{h\to\0} 1/(sqrt((x+h)^2 +y^2))$
Se così fosse, noto che il primo limite non può esiste, in quanto i limiti destro e sinistro non coincidono. Dunque posso concludere che la funzione non ammette derivata in $(0,0)$.
E' tutto corretto?
Risposte
Ciao,
per le funzioni in più variabili non si parla di derivabilità, quindi cosa devi studiare di preciso? La differenziabilità? O l'esistenza delle derivate parziali?
In ogni caso, il ragionamento che hai fatto non è corretto. Non puoi dedurre che il limite del prodotto di due funzioni non esiste dal fatto che non esiste il limite di uno dei fattori. Considera questo esempio: $$1=\lim_{x\rightarrow 0} 1=\lim_{x\rightarrow 0} x\cdot \frac{1}{x}$$
Se seguissi la tua logica potrei dire che, non esistendo $\lim_{x\rightarrow 0} 1/x$, non esiste neanche $\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot 1/x$, ma quest'ultimo chiaramente esiste e vale $1$.
Il procedimento formalmente corretto consiste invece nel calcolare separatamente i limiti destro e sinistro del tuo rapporto incrementale (che è facile, peché in entrambi i casi non hai forme indeterminate) e verificare che sono diversi, e da qui dedurre la non-esistenza della derivata parziale rispetto $x$, e a fortiori anche la non-differenziabilità.
Un'ultima precisazione, giusto per trovare il pelo nell'uovo: non ha senso dire "derivabilità di $f$ nel punto $(0,0)$", perché $f$ non è definita nell'origine. Sarebbe meglio dire "studiare la derivabilità in $(0,0)$ del prolungamento continuo di $f$ a $(0,0)$".
per le funzioni in più variabili non si parla di derivabilità, quindi cosa devi studiare di preciso? La differenziabilità? O l'esistenza delle derivate parziali?
In ogni caso, il ragionamento che hai fatto non è corretto. Non puoi dedurre che il limite del prodotto di due funzioni non esiste dal fatto che non esiste il limite di uno dei fattori. Considera questo esempio: $$1=\lim_{x\rightarrow 0} 1=\lim_{x\rightarrow 0} x\cdot \frac{1}{x}$$
Se seguissi la tua logica potrei dire che, non esistendo $\lim_{x\rightarrow 0} 1/x$, non esiste neanche $\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot 1/x$, ma quest'ultimo chiaramente esiste e vale $1$.
Il procedimento formalmente corretto consiste invece nel calcolare separatamente i limiti destro e sinistro del tuo rapporto incrementale (che è facile, peché in entrambi i casi non hai forme indeterminate) e verificare che sono diversi, e da qui dedurre la non-esistenza della derivata parziale rispetto $x$, e a fortiori anche la non-differenziabilità.
Un'ultima precisazione, giusto per trovare il pelo nell'uovo: non ha senso dire "derivabilità di $f$ nel punto $(0,0)$", perché $f$ non è definita nell'origine. Sarebbe meglio dire "studiare la derivabilità in $(0,0)$ del prolungamento continuo di $f$ a $(0,0)$".
"siddy98":
Ciao,
per le funzioni in più variabili non si parla di derivabilità, quindi cosa devi studiare di preciso? La differenziabilità? O l'esistenza delle derivate parziali?
In ogni caso, il ragionamento che hai fatto non è corretto. Non puoi dedurre che il limite del prodotto di due funzioni non esiste dal fatto che non esiste il limite di uno dei fattori. Considera questo esempio: $$1=\lim_{x\rightarrow 0} 1=\lim_{x\rightarrow 0} x\cdot \frac{1}{x}$$
Se seguissi la tua logica potrei dire che, non esistendo $\lim_{x\rightarrow 0} 1/x$, non esiste neanche $\lim_{x\rightarrow 0}x\cdot 1/x$, ma quest'ultimo chiaramente esiste e vale $1$.
Non credo abbia senso, tu stai moltiplicando per una variabile $x$ che devi supporre sia diversa da $0$, ergo quei due limiti esistono
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