Derivata composta
Salve a tutti!! devo sviluppare il polinomio di Taylor per questa funzione: $xe^(3x+1)$
operazione piuttosto semplice! se non fosse che io queste Derivate composte non le ho prorpio capite!!.. da cosa devo cominciare??.. qualcuno mi aiuti per favore!!
operazione piuttosto semplice! se non fosse che io queste Derivate composte non le ho prorpio capite!!.. da cosa devo cominciare??.. qualcuno mi aiuti per favore!!
Risposte
Vi faccio vedere il procedimento che ho svolto io..
io la vedo come un prodotto di funzioni $x$ che moltiplica $e^(3x+1)$
ho svolto quindi la derivata di un prodotto:
$1*e^(3x+1)+x*(e^(3x+1)*3)$
è giusto il mio procedimento??
proseguendo e mettendo in evidenza $e^(3x+1)$ trovo:
$e^(3x+1)*(1+3x)$
io la vedo come un prodotto di funzioni $x$ che moltiplica $e^(3x+1)$
ho svolto quindi la derivata di un prodotto:
$1*e^(3x+1)+x*(e^(3x+1)*3)$
è giusto il mio procedimento??
proseguendo e mettendo in evidenza $e^(3x+1)$ trovo:
$e^(3x+1)*(1+3x)$
Ok! ci sono riuscito da solo!.. vi faccio vedere cosa ho fatto per chi lo volesse cmq sapere:
$f(x)=xe^(3x+1)$....... $f(x0)=0$
$f^1(x)=e^(3x+1)(1+3x)$...... $f^1(x0)=e+1$
$f^2(x)=3e^(3x+1)(3x+2)$...... $f^2(x0)=3e+2$
Taylor:
$((e+1)/1)x+((3e+2)/2)x^2$ che risolto da:
$ex+3ex^2$
$f(x)=xe^(3x+1)$....... $f(x0)=0$
$f^1(x)=e^(3x+1)(1+3x)$...... $f^1(x0)=e+1$
$f^2(x)=3e^(3x+1)(3x+2)$...... $f^2(x0)=3e+2$
Taylor:
$((e+1)/1)x+((3e+2)/2)x^2$ che risolto da:
$ex+3ex^2$
Non si capisce molto bene: fino a che ordine devi sviluppare Taylor? Secondo? E in che punto? $x_0=0$? Oppure $x_0=e$? Fai una marea di calcoli ma poi sbagli sostituzioni o cose del genere e sei molto impreciso. Più chiarezza.
Ordine secondo X0=0
ho sbagliato qualcosa??.. io faccio tutti i passaggi per fare pratica ed evitare di sbagliare!
ho sbagliato qualcosa??.. io faccio tutti i passaggi per fare pratica ed evitare di sbagliare!
Sbagli sicuramente nelle sostituzioni del punto. In ogni caso vediamo un po' come procedere. Ti mostro due modi: il primo è quello, corretto, che hai usato tu, del calcolo delle varie derivate e del sostituire i punti. Abbiamo
$f(x)=x e^{3x+1}$ da cui $f(0)=0$
$f'(x)=e^{3x+1}(1+3x)$ da cui $f'(0)=e$
$f''(x)=3e^{3x+1}(2+3x)$ da cui $f''(0)=6e$
e quindi dalla formula di taylor arrestata al secondo ordine si ha
$T_2(x)=0+ex+\frac{6e}{2!} x^2=ex+3ex^2$
(e io sinceramente non capisco come a te faccia a venire fuori lo stesso risultato visto che sommi dei termini che poi spariscono nel nulla magicamente).
Il secondo metodo, che è poi quello intelligente e che andrebbe usato, consiste nello sfruttare lo sviluppo di Taylor noto della funzione $e^t=1+t+t^2/2+...$ e andare a sostituire: in questo caso hai, supponendo $t=3x$
$x\cdot e^{3x+1}=x\cdot e^{3x}\cdot e=ex(1+(3x)+{(3x)^2}/2+...)=ex+3ex^2+...$
che, come vedi, è molto più semplice.
$f(x)=x e^{3x+1}$ da cui $f(0)=0$
$f'(x)=e^{3x+1}(1+3x)$ da cui $f'(0)=e$
$f''(x)=3e^{3x+1}(2+3x)$ da cui $f''(0)=6e$
e quindi dalla formula di taylor arrestata al secondo ordine si ha
$T_2(x)=0+ex+\frac{6e}{2!} x^2=ex+3ex^2$
(e io sinceramente non capisco come a te faccia a venire fuori lo stesso risultato visto che sommi dei termini che poi spariscono nel nulla magicamente).
Il secondo metodo, che è poi quello intelligente e che andrebbe usato, consiste nello sfruttare lo sviluppo di Taylor noto della funzione $e^t=1+t+t^2/2+...$ e andare a sostituire: in questo caso hai, supponendo $t=3x$
$x\cdot e^{3x+1}=x\cdot e^{3x}\cdot e=ex(1+(3x)+{(3x)^2}/2+...)=ex+3ex^2+...$
che, come vedi, è molto più semplice.
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