Derivata arcsin
ciao a tutti! qualcuno sà scrivermi la derivata di arcsin(x^2) svolto col rapporto incrementale?grazie a tutti[/chessgame][/chesspos][/spoiler]
Risposte
usando limiti notevoli?
sinceramente non ho proprio idea di come risolverla..mi và bene in qualsiasi modo..se riesci però fammi vedere i passaggi
Si tratta di una banale applicazione del teorema sulla derivata delle funzioni inverse. Lo conosci?
"Feliciano":
Si tratta di una banale applicazione del teorema sulla derivata delle funzioni inverse. Lo conosci?
no..però apprendo in fretta..dimmi pure
tu vorresti dimostrare che
$lim_(h->0) 1/h ( arc sin ( x + h ) - arc sin x ) = 1 / (sqrt{1 - x^2})$
calcolandolo esplicitamente......?!?!?
se segui il consiglio di Feliciano fai mille volte prima.....
$lim_(h->0) 1/h ( arc sin ( x + h ) - arc sin x ) = 1 / (sqrt{1 - x^2})$
calcolandolo esplicitamente......?!?!?
se segui il consiglio di Feliciano fai mille volte prima.....
"alle.fabbri":
tu vorresti dimostrare che
$lim_(h->0) 1/h ( arc sin ( x + h ) - arc sin x ) = 1 / (sqrt{1 - x^2})$
calcolandolo esplicitamente......?!?!?
se segui il consiglio di Feliciano fai mille volte prima.....
si ma però voglio capire qual'è il risultato..cioè calcolarmi il risultato col rapporto incrementale e non fare una derivata immediata..se faccio il rapporto incrementale mi esce una cosa del genere:
$lim_(h->0) 1/h ( arc sin ( x + h )^2 - arc sin x^2 )$...però poi non sò come andare avanti e arrivare al risultato
Ma non fai prima se usi il teorema della derivata della funzione inversa? Poi perchè il tuo rapporto incrementale è una differenza di quadrati?
$f'(x) = lim_(h->0) ( f(x+h) - f(x) ) / h$
Forse Puoi provare a far vedere che
$lim_(h->0) [(arcsin (x+ h) - arcsin (x))/h + 1/sqrt{1 - x^2}] = 0$
non so.....è solo un'idea......poi prova a fare il denominatore comune e razionalizzare......nn ho provato quindi magari è un vicolo cieco lo stesso.
$f'(x) = lim_(h->0) ( f(x+h) - f(x) ) / h$
Forse Puoi provare a far vedere che
$lim_(h->0) [(arcsin (x+ h) - arcsin (x))/h + 1/sqrt{1 - x^2}] = 0$
non so.....è solo un'idea......poi prova a fare il denominatore comune e razionalizzare......nn ho provato quindi magari è un vicolo cieco lo stesso.
"alle.fabbri":
Poi perchè il tuo rapporto incrementale è una differenza di quadrati?
ho fatto la differenza dei quadrati perchè la funzione da derivare è $arcsinx^2$
Stai attento a mettere le parentesi... $arcsinx^2$ può essere letto come $(arcsin(x))^2$ oppure $arcsin(x^2)$.
"apatriarca":
Stai attento a mettere le parentesi... $arcsinx^2$ può essere letto come $(arcsin(x))^2$ oppure $arcsin(x^2)$.
va bene grazie per l'avvertimento. é $arcsin(x^2)$
Allora in matematica la prima cosa è non fare confusione. Dunque procediamo con ordine.
Tu hai chiesto da dove esce fuori la derivata della funzione arcoseno. Adesso esiste un teorema (cioè si dimostra) che a partire da alcune ipotesi (funzione invertibile con funzione inversa derivabile con derivata non nulla) allora la derivata della funzione inversa è uguale all'inverso della derivata della funzione di partenza. Cioè data $f(x)$ e la sua inversa $f^(-1)(x)$, la derivata di $f^(-1)(x)$ è $1/(f'(x)$.
Adesso partendo da questo ti spiego da dove esce la derivata dell'arcoseno. Se poi vuoi chiarimenti su questo teorema o chiedi o prendi un qualsiasi libro di analisi e eventualmente ci chiedi qualche passaggio che non ti è chiaro.
Tornando all'arcoseno sappiamo che l'arcoseno è la funzione inversa del seno. Quindi applicando alla lettera il teorema abbiamo che la derivata dell'arcoseno deve essere
$1/(cos(arcsinx))=1/((1-(sin(arcsinx))^2)^(1/2))=1/((1-x^2)^(1/2))$
Se poi devi derivare $arcsin(x^2)$ allora devi sfruttare il teorema di derivazione di funzioni composte (che è ancora un'altra cosa)
Se, come immagino, non ti è chiaro perchè $1/(f'(x))=1/(cos(arcsinx))$ ti consiglio di guardarti la dimostarzione di questo teorema su un qualsiasi libro di matematica (se poi non ti è ancora chiaro il forum è qui)
Tu hai chiesto da dove esce fuori la derivata della funzione arcoseno. Adesso esiste un teorema (cioè si dimostra) che a partire da alcune ipotesi (funzione invertibile con funzione inversa derivabile con derivata non nulla) allora la derivata della funzione inversa è uguale all'inverso della derivata della funzione di partenza. Cioè data $f(x)$ e la sua inversa $f^(-1)(x)$, la derivata di $f^(-1)(x)$ è $1/(f'(x)$.
Adesso partendo da questo ti spiego da dove esce la derivata dell'arcoseno. Se poi vuoi chiarimenti su questo teorema o chiedi o prendi un qualsiasi libro di analisi e eventualmente ci chiedi qualche passaggio che non ti è chiaro.
Tornando all'arcoseno sappiamo che l'arcoseno è la funzione inversa del seno. Quindi applicando alla lettera il teorema abbiamo che la derivata dell'arcoseno deve essere
$1/(cos(arcsinx))=1/((1-(sin(arcsinx))^2)^(1/2))=1/((1-x^2)^(1/2))$
Se poi devi derivare $arcsin(x^2)$ allora devi sfruttare il teorema di derivazione di funzioni composte (che è ancora un'altra cosa)
Se, come immagino, non ti è chiaro perchè $1/(f'(x))=1/(cos(arcsinx))$ ti consiglio di guardarti la dimostarzione di questo teorema su un qualsiasi libro di matematica (se poi non ti è ancora chiaro il forum è qui)
Ok ora procedo nel guardarmi la dimostrazione. Intanto ho tentato di risolvere la funzione con la derviazione delle funzioni composte e mi è risultato:
$2x/sqrt(1-(x^2)^2)$
correggetemi se sbaglio..intanto ringrazio per la spiegazione
$2x/sqrt(1-(x^2)^2)$
correggetemi se sbaglio..intanto ringrazio per la spiegazione
"ballo":
si ma però voglio capire qual'è il risultato..cioè calcolarmi il risultato col rapporto incrementale e non fare una derivata immediata..se faccio il rapporto incrementale mi esce una cosa del genere:
$lim_(h->0) 1/h ( arc sin (( x + h )^2) - arc sin (x^2) )$...però poi non sò come andare avanti e arrivare al risultato
Quello che hai scritto è il rapporto incrementale, ora occorre sapere il punto in cui vuoi calcolare la derivata, dopo di che procedi numericamente ad esempio se il punto fosse $x=0$ scriverai:
$ 1/(0,000001)( arc sin(0,000001^2) - arc sin(0) )$
In pratica sostituisci al posto della $x$ il valore del punto scelto, nel caso del mio esempio $0$, poi al posto di lasciar scritto $lim_(h->0)$ poni al posto di $h$ una quantità molto piccola, tieni presente che più scrivi piccolo $h$ e più ottieni un'approssimazione corretta del risultato, io te l'ho scritto con con $5$ zeri dopo la virgola, ma si potrebbero aumentare a piacimento....
Ciao
"ballo":
Ok ora procedo nel guardarmi la dimostrazione. Intanto ho tentato di risolvere la funzione con la derviazione delle funzioni composte e mi è risultato:
$2x/sqrt(1-(x^2)^2)$
correggetemi se sbaglio..intanto ringrazio per la spiegazione
perfetto
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