Derivata arccos
Salve,
nuovo sul forum... e "nuovo" pure per quanto riguarda l'argomento...
Ho iniziato quest'anno a studiare analisi (formazione a distanza... quindi niente lavoro in classe con il prof.) e mentre proseguo con lo studio cerco di capire cercando di svolgere gli esercizi.
Sono esercizi che per molti di voi sono probabilmente semplicissimi ma per me sono del tutto nuovi.
Sperando di rispettare il regolamento ecco il mio problema:
Calcolare la derivata e segno della funzione
[tex]\arccos{(\frac{1-x^2}{1+x^2})}-2\arctan{(x)}[/tex]
le ho considerate inizialmente come due funzioni per cui [tex]D(f(x)\pm g(x)) = f\prime(x) \pm g\prime(x)[/tex]
quindi visto che arccos ha come derivata [tex]- \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]
e
arctan ha come derivata [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex]
ho riscritto così la funzione usando la derivazione per funzioni composte per derivare arccos
[tex]- \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}}*\frac{\frac{d}{dx}(1-x^2)(1+x^2)-(1-x^2)\frac{d}{dx}(1+x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
Qui ho svolto i calcoli
[tex]- \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}}*\frac{-2x(1+x^2)-2x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}}*\frac{-2x-2x^3-2x+2x^3}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^2)^2-(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}*\frac{-4x}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{\sqrt{(1+x^2)^2}}{\sqrt{4x^2)}}*\frac{-4x}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{(1+x^2)}{2\sqrt{x^2)}}*\frac{-4x}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{1}{\sqrt{x^2}}*\frac{-2x}{(1+x^2)}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{-2x}{\sqrt{x^2}(1+x^2)}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]\frac{2x}{\sqrt{x^2}(1+x^2)}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
il risultato non è corretto... e credo sia una questione di logica che mi sfugge... sapreste darmi qualche suggerimento?
grazie.
nuovo sul forum... e "nuovo" pure per quanto riguarda l'argomento...
Ho iniziato quest'anno a studiare analisi (formazione a distanza... quindi niente lavoro in classe con il prof.) e mentre proseguo con lo studio cerco di capire cercando di svolgere gli esercizi.
Sono esercizi che per molti di voi sono probabilmente semplicissimi ma per me sono del tutto nuovi.
Sperando di rispettare il regolamento ecco il mio problema:
Calcolare la derivata e segno della funzione
[tex]\arccos{(\frac{1-x^2}{1+x^2})}-2\arctan{(x)}[/tex]
le ho considerate inizialmente come due funzioni per cui [tex]D(f(x)\pm g(x)) = f\prime(x) \pm g\prime(x)[/tex]
quindi visto che arccos ha come derivata [tex]- \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}[/tex]
e
arctan ha come derivata [tex]\frac{1}{1+x^2}[/tex]
ho riscritto così la funzione usando la derivazione per funzioni composte per derivare arccos
[tex]- \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}}*\frac{\frac{d}{dx}(1-x^2)(1+x^2)-(1-x^2)\frac{d}{dx}(1+x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
Qui ho svolto i calcoli
[tex]- \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}}*\frac{-2x(1+x^2)-2x(1-x^2)}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1-x^2}{1+x^2})^2}}*\frac{-2x-2x^3-2x+2x^3}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{1}{\sqrt{\frac{(1+x^2)^2-(1-x^2)^2}{(1+x^2)^2}}}*\frac{-4x}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{\sqrt{(1+x^2)^2}}{\sqrt{4x^2)}}*\frac{-4x}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{(1+x^2)}{2\sqrt{x^2)}}*\frac{-4x}{(1+x^2)^2}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{1}{\sqrt{x^2}}*\frac{-2x}{(1+x^2)}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]- \frac{-2x}{\sqrt{x^2}(1+x^2)}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
[tex]\frac{2x}{\sqrt{x^2}(1+x^2)}-\frac{2}{1+x^2}[/tex]
il risultato non è corretto... e credo sia una questione di logica che mi sfugge... sapreste darmi qualche suggerimento?
grazie.
Risposte
Benvenuto nel forum. I conti non mi sembrano sbagliati. Magari, potresti confrontare i risultati discutendo il valore assoluto.
Grazie della risposta. ho verificato il risultato usando Wolframalpha per il calcolo della derivata e il risultato è diverso (l'utility in altri casi mi è sembrata attendibile)
Cosa intendi per discutere il valore assoluto?
A prescindere dal risultato "numerico" , il metodo e la logica usati secondo te sono corretti?
Cosa intendi per discutere il valore assoluto?
A prescindere dal risultato "numerico" , il metodo e la logica usati secondo te sono corretti?
Ciao,e benvenuto su questo Forum!
Buono studio,innanzitutto,e per venire poi al tuo quesito,poni $t="arctg"x$ ed osserva che da cio desumi come
$x="tg"t rArr(1-x^2)/(1+x^2)=(1-"tg"^2 t)/(1+"tg"^2t)="cos"2t$
(per le formule parametriche,note dalla Trigonometria,che permettono d'esprimere $"cos"alpha$ in funzione di $"tg"(alpha)/2$..)
$rArr"arccos"(1-x^2)/(1+x^2)-2"arctg"x="arccos"("cos"2t)-2"arctg"("tg"t)=2t-2t=0$:
a questo punto forse si giustifica meglio quanto dovresti aver trovato scritto nel libro..
Saluti dal web.
Buono studio,innanzitutto,e per venire poi al tuo quesito,poni $t="arctg"x$ ed osserva che da cio desumi come
$x="tg"t rArr(1-x^2)/(1+x^2)=(1-"tg"^2 t)/(1+"tg"^2t)="cos"2t$
(per le formule parametriche,note dalla Trigonometria,che permettono d'esprimere $"cos"alpha$ in funzione di $"tg"(alpha)/2$..)
$rArr"arccos"(1-x^2)/(1+x^2)-2"arctg"x="arccos"("cos"2t)-2"arctg"("tg"t)=2t-2t=0$:
a questo punto forse si giustifica meglio quanto dovresti aver trovato scritto nel libro..
Saluti dal web.
Scusami, intendevo $[sqrt(x^2)=|x|]$:
$[|x|=x harr x>=0] ^^ [|x|=-x harr x<0]$
Insomma, fare i due casi esplicitamente.
$[|x|=x harr x>=0] ^^ [|x|=-x harr x<0]$
Insomma, fare i due casi esplicitamente.
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