Derivata alla sobolev di f(x)
Buona sera 
,
stavo riflettendo su un esercizio di Analisi Superiore che ho trovato fra i miei appunti: si chiede se la funzione
$$f(x)= \left\{\begin{array}{ll} 1 & -1\leq x\leq 1 \\[3pt] 0 & |x|>1 \end{array}\right.$$
appartiene oppure no a $W^{1,2}(\mathbb{R})$.
Secondo me la risposta è negativa, perché una volta che integro con una funzione test $\phi$ qualsiasi a supporto compatto il valore dell'integrale dipende da dove è collocato il supporto di $\phi$ sulla retta reale, ma sinceramente non saprei formalizzarlo... avevo pensato ad analizzare i singoli casi, ma sembra troppo lungo... è sufficiente trovare due funzioni test differenti per cui la derivata di $f$ viene diversa?
Grazie
,stavo riflettendo su un esercizio di Analisi Superiore che ho trovato fra i miei appunti: si chiede se la funzione
$$f(x)= \left\{\begin{array}{ll} 1 & -1\leq x\leq 1 \\[3pt] 0 & |x|>1 \end{array}\right.$$
appartiene oppure no a $W^{1,2}(\mathbb{R})$.
Secondo me la risposta è negativa, perché una volta che integro con una funzione test $\phi$ qualsiasi a supporto compatto il valore dell'integrale dipende da dove è collocato il supporto di $\phi$ sulla retta reale, ma sinceramente non saprei formalizzarlo... avevo pensato ad analizzare i singoli casi, ma sembra troppo lungo... è sufficiente trovare due funzioni test differenti per cui la derivata di $f$ viene diversa?
Grazie
Risposte
La derivata distribuzionale della funzione gradino di Heaviside è, a meno di costanti moltiplicative, la delta di Dirac (che certamente non è una funzione e quindi nemmeno una funzione sommabile). Questo si può verificare a mano molto facilmente: ti prendi una test $\phi$ e calcoli
\[
\int_\mathbb R \phi^{\prime} H dx = \int_0^{\infty} \phi^{\prime} = ...
\]
In particolare, la tua funzione è somma di due funzioni di Heaviside e la sua derivata distribuzionale è una somma di delta di Dirac (una centrata in -1 e l'altra in 1, cioè nei punti di salto). Quindi la derivata è una distribuzione che non è identificabile con una funzione di $L^2$.
Più chiaro?
\[
\int_\mathbb R \phi^{\prime} H dx = \int_0^{\infty} \phi^{\prime} = ...
\]
In particolare, la tua funzione è somma di due funzioni di Heaviside e la sua derivata distribuzionale è una somma di delta di Dirac (una centrata in -1 e l'altra in 1, cioè nei punti di salto). Quindi la derivata è una distribuzione che non è identificabile con una funzione di $L^2$.
Più chiaro?
Si grazie mille molto più chiaro ... In Fisica Matematica avevamo dimostrato che la derivata di $H$ funzione di Heavyside in senso distribuzionale è la delta di Dirac attraverso l'approssimazione della delta attraverso funzioni dipendenti da $\varepsilon$ e definite come rapporto incrementale di $H$... in effetti quelle funzioni assomigliavano parecchio alla $f$ qui nell'esercizio
molto più chiaro ... In Fisica Matematica avevamo dimostrato che la derivata di $H$ funzione di Heavyside in senso distribuzionale è la delta di Dirac attraverso l'approssimazione della delta attraverso funzioni dipendenti da $\varepsilon$ e definite come rapporto incrementale di $H$... in effetti quelle funzioni assomigliavano parecchio alla $f$ qui nell'esercizio
D'altra parte, le funzioni di Sobolev di una variabile sono continue, quindi...
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