Derivata...
Salve, con un esercizio di elettrotecnica sono giunto a quanto segue ma credo di sbagliare qualcosa perchè il sistema non mi da la soluzione che mi aspetto. Ho postato in questa sezione perchè il problema mio credo sia di origine matematica, non fisica.
Le due equazioni sono queste:
$I_L = - v_c/40 - 1/400 (delv_c)/(delt)$
$(delI_L)/(delt) = - v_c + 10I_L$
Quindi:
$(del (-v_c/10 - 1/400 (delv_c)/(delt)))/(delt) - v_c + 10 (- v_c/40 - 1/400 (delv_c)/(delt))=0$
$(del^2 v_c)/(delt^2) - 1/40 (delv_c)/(delt) - 5/4 v_c =0$
mi sa che qualcosa non va...
Le due equazioni sono queste:
$I_L = - v_c/40 - 1/400 (delv_c)/(delt)$
$(delI_L)/(delt) = - v_c + 10I_L$
Quindi:
$(del (-v_c/10 - 1/400 (delv_c)/(delt)))/(delt) - v_c + 10 (- v_c/40 - 1/400 (delv_c)/(delt))=0$
$(del^2 v_c)/(delt^2) - 1/40 (delv_c)/(delt) - 5/4 v_c =0$
mi sa che qualcosa non va...
Risposte
No...va tutto bene. Sei arrivato all'equazione differenziale per $v_c (t)$ ora ti basta risolverla, ad esempio con il metodo dell'equazione caratteristica.
mmm... unico problema è che secondo il libro dovrebbe essere:
$(del^2 v_c)/(delt^2) + 20 (delv_c)/(delt) + 500v_c = 0$
$(del^2 v_c)/(delt^2) + 20 (delv_c)/(delt) + 500v_c = 0$
$\frac{\partial } {\partial t} (-v_c/40 - 1/400 \frac{\partial v_c} {\partial t}) = - v_c + 10 (-v_c/40 - 1/400 \frac{\partial v_c} {\partial t})$
$ - 1/40 \frac{\partial v_c} {\partial t} - 1/400 \frac{\partial^2 v_c} {\partial t^2} = - 5/4 v_c - 1/40 \frac{\partial v_c} {\partial t}$
$ 1/400 \frac{\partial^2 v_c} {\partial t^2} - 5/4 v_c = 0$
$\frac{\partial^2 v_c} {\partial t^2} - 500 v_c = 0$
Che potrebbe anche andare bene visto che le soluzioni sono esponenziali... sei sicuro che il testo sia corretto?
$ - 1/40 \frac{\partial v_c} {\partial t} - 1/400 \frac{\partial^2 v_c} {\partial t^2} = - 5/4 v_c - 1/40 \frac{\partial v_c} {\partial t}$
$ 1/400 \frac{\partial^2 v_c} {\partial t^2} - 5/4 v_c = 0$
$\frac{\partial^2 v_c} {\partial t^2} - 500 v_c = 0$
Che potrebbe anche andare bene visto che le soluzioni sono esponenziali... sei sicuro che il testo sia corretto?
posso dare la certezza su quanto leggo... non su chi ha scritto 
cmq credo di aver trovato l'errore (orrore)
$(del (-v_c/40 - 1/400 (delv_c)/(delt)))/(delt) - v_c + 10(-v_c/40 - 1/400 (delv_c)/(delt)) = 0$
$- 1/400 (del^2v_c)/(delt^2) - 1/40 (delv_c)/(delt) - v_c - v_c/4 - 1/40 (delv_c)/(delt) = 0
$- 1/400 (del^2v_c)/(delt^2) - 2/40 (delv_c)/(delt) - 5/4 v_c = 0
Mltiplico tutto per $-400$
$ (del^2v_c)/(delt^2) + 20 (delv_c)/(delt) + 500 v_c = 0$
che è il risultato secondo il libro, a quanto pare avevo sbagliato nella derivata doppia, perchè $v_c/40$ non è una costante.
Convincente?
cmq credo di aver trovato l'errore (orrore)
$(del (-v_c/40 - 1/400 (delv_c)/(delt)))/(delt) - v_c + 10(-v_c/40 - 1/400 (delv_c)/(delt)) = 0$
$- 1/400 (del^2v_c)/(delt^2) - 1/40 (delv_c)/(delt) - v_c - v_c/4 - 1/40 (delv_c)/(delt) = 0
$- 1/400 (del^2v_c)/(delt^2) - 2/40 (delv_c)/(delt) - 5/4 v_c = 0
Mltiplico tutto per $-400$
$ (del^2v_c)/(delt^2) + 20 (delv_c)/(delt) + 500 v_c = 0$
che è il risultato secondo il libro, a quanto pare avevo sbagliato nella derivata doppia, perchè $v_c/40$ non è una costante.
Convincente?
si ma per come è scritto il sistema, il primo passaggio è sbagliato.
Perchè la seconda equazione si scrive
$\partial_t I_L = - v_c + 10 I_L$
$\partial_t I_L + v_c - 10 I_L = 0$
Quindi con
$I_L = - v_c / 40 - {\partial_t v_c} / 400$
diventa
$\partial_t (- v_c / 40 - {\partial_t v_c} / 400) + v_c - 10 (- v_c / 40 - {\partial_t v_c} / 400) = 0$
che fa
$\partial_t^2 v_c - 500 v_c = 0$
Giusto?
Secondo me qualcuno (e magari gli autori del libro.....sono pur sempre persone) si è perso un meno...
PS. Con $\partial_t v_c$ intendo $(\partial v_c) / (\partial t)$
Perchè la seconda equazione si scrive
$\partial_t I_L = - v_c + 10 I_L$
$\partial_t I_L + v_c - 10 I_L = 0$
Quindi con
$I_L = - v_c / 40 - {\partial_t v_c} / 400$
diventa
$\partial_t (- v_c / 40 - {\partial_t v_c} / 400) + v_c - 10 (- v_c / 40 - {\partial_t v_c} / 400) = 0$
che fa
$\partial_t^2 v_c - 500 v_c = 0$
Giusto?
Secondo me qualcuno (e magari gli autori del libro.....sono pur sempre persone) si è perso un meno...
PS. Con $\partial_t v_c$ intendo $(\partial v_c) / (\partial t)$
si è vero, sarà il meno che manca.
il resto quadra tutto! comunque grazie tante per la disponibilità
il resto quadra tutto! comunque grazie tante per la disponibilità
figurati...alla prossima!
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