Derivata

[Principe2]

Sia $\Omega\subsetRR^n$ e sia $\nu$ una direzione di $RR^n$ lungo la quale
sia derivabile una funzione $f:\Omega->RR$. Siano $(a_1,...a_n)$ le coordinate
di $\nu$ rispetto alla base canonica. è vero che:

$d/(d\nu)f=a_1d/(d_{x_1})f+....+a_nd/(d_{x_n})f$ ?

se non è vero, esiste un modo per esprimere la derivata direzionale
rispetto alle derivate parziali?

[fireball1]

E' vero se $f$ è differenziabile in $Omega$, infatti
in questo caso vale la "formula del gradiente" che è quella che hai scritto te.

[Principe2]

grazie fire!!!!!!!!!!!!

[Thomas16]

visto che sono inquieto e con poco da fare... ma più che altro inquieto... mi rilasso postando la dimostrazione della formula.

Def di derivata direzionale in $x_0 in \Omega$ rispetto a $v$:

$lim_(t->0)[f(x_0+tv)-f(x_0)]/t$

con $t$ reale.

vale (Df sia il differenziale):

$f(x_0+tv)-f(x_0)=Df(x_0)[tv]+o(|tv|)$ per $t->0$

da cui:

$(f(x_0+tv)-f(x_0))/t=Df(x_0)[v]+o(|v|)$ per $t->0$

ma $o|v|=o(1)$

da cui la derivata direzionale è $Df(x_0)[v]$... e quindi esplitando $v$ ed il differenziale si ha la formula di fireball...

[fireball1]

Sì bravo Thomas, è questa, me l'hanno chiesta all'orale...