Derivata
Sia $ f: R^2 ⟶ R $ di classe $ C^2 $. Se $ v=(1,1) $ e la matrice hessiana di f nell'origine è $ Hf (0,0) = $ \( \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) , calcola $ (∂^2 f )/(∂v^2) (0,0) = $ $ ∂/(∂v)((∂f)/(∂v))(0,0) $.
So che il risultato è -1, ma non so quali relazioni utilizzare
So che il risultato è -1, ma non so quali relazioni utilizzare
Risposte
Ci sarà qualche relazione che lega la derivata seconda e l'hessiana, immagino...
Beh sai che la funzione è di classe $C^2$ quindi è differenziabile sia la funzione $f$ sia tutte le sue derivate direzionali.
Perciò è valida la formula del gradiente che dice che $f_v=v_1f_x+v_2f_y$ e nel tuo caso particolare hai dunque che $$f_v=f_x+f_y$$
Ora riapplichiamo la formula del gradiente sulla funzione $f_v$ avremo che $$f_{vv}=\frac{\partial f_v}{\partial x}+\frac{\partial f_v}{\partial y}$$
Ma noi sappiamo chi è $f_v$ ottenendo che
$$f_{vv}=\frac{\partial f_x+f_y}{\partial x}+\frac{\partial f_x+f_y}{\partial y}$$
Da qui in avanti penso che ce la puoi fare da solo, sfruttando la linearità della derivata parziale e sapendo la definizione di hessiana.
good luck
Perciò è valida la formula del gradiente che dice che $f_v=v_1f_x+v_2f_y$ e nel tuo caso particolare hai dunque che $$f_v=f_x+f_y$$
Ora riapplichiamo la formula del gradiente sulla funzione $f_v$ avremo che $$f_{vv}=\frac{\partial f_v}{\partial x}+\frac{\partial f_v}{\partial y}$$
Ma noi sappiamo chi è $f_v$ ottenendo che
$$f_{vv}=\frac{\partial f_x+f_y}{\partial x}+\frac{\partial f_x+f_y}{\partial y}$$
Da qui in avanti penso che ce la puoi fare da solo, sfruttando la linearità della derivata parziale e sapendo la definizione di hessiana.
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