Derivare un'equazione differenziale
Se ho un sistema di equazioni differenziali (in fisica per esempio c'era un esercizio con due equazioni del primo ordine per il campo magnetico e il campo elettrico accoppiate) posso derivare un'equazione (o entrambe) per ottenere la soluzione? Oppure potrei ottenere una soluzione particolare e non quella generale? Lo chiedo perchè appunto mi era capitato quell'esercizio di fisica in cui si derivava una delle due equazioni per disaccoppiarle e risolvere poi il sistema, ma mi era venuto il dubbio sul fatto che fosse un'operazione lecita per trovare le soluzioni.
Risposte
Ciao Cannone Speciale,
Sì, puoi farlo. Tieni presente però che derivare ti fa secche le soluzioni costanti, quindi attenzione se devi scrivere la soluzione generale.
Se ci riporti il sistema di equazioni differenziali magari ti si può aiutare meglio...
"Cannone Speciale":
Se ho un sistema di equazioni differenziali (in fisica per esempio c'era un esercizio con due equazioni del primo ordine per il campo magnetico e il campo elettrico accoppiate) posso derivare un'equazione (o entrambe) per ottenere la soluzione?
Sì, puoi farlo. Tieni presente però che derivare ti fa secche le soluzioni costanti, quindi attenzione se devi scrivere la soluzione generale.
Se ci riporti il sistema di equazioni differenziali magari ti si può aiutare meglio...
Derivare è lecito se sai che è consentito dalle equazioni e dalla soluzione... Insomma, dipende.
Inoltre, dato che usualmente le EDO o le EDP sono accompagnate da condizioni iniziali/al bordo, ti devi porre il problema di come la derivazione agisce su tali condizioni.
Prova a postare un esempio.
Inoltre, di solito, derivando una EDO succede che guadagni soluzioni.
Ad esempio, l'integrale generale di $y'(x) = 1$ è $y(x) = x + q$, mentre l'integrale generale dell'equazione ottenuta derivando, che è $y''(x) = 0$, è $y(x) = mx+ q$... Quindi bisogna prestare attenzione.
Inoltre, dato che usualmente le EDO o le EDP sono accompagnate da condizioni iniziali/al bordo, ti devi porre il problema di come la derivazione agisce su tali condizioni.
Prova a postare un esempio.
Inoltre, di solito, derivando una EDO succede che guadagni soluzioni.
Ad esempio, l'integrale generale di $y'(x) = 1$ è $y(x) = x + q$, mentre l'integrale generale dell'equazione ottenuta derivando, che è $y''(x) = 0$, è $y(x) = mx+ q$... Quindi bisogna prestare attenzione.
si appena torno a casa mando le equazioni che avevo. Grazie per le risposte
Rispondo con un po' di ritardo, mi dimenticai di mandare l'esercizio in questione quando fui tornato a casa. Si trattava di un esercizio di fisica quantistica, scrivo il testo dell'esercizio per completezza: determinare ad ogni tempo t il valore emdio del vettore posizione x e del vettore impulso p per un sistema che al tempo 0 ha $ << vec(x)>> = ( ( x_0 ),( 0 ),( 0 ) ) $ e $ << vec(p)>> = ( ( 0),( p_0 ),( 0 ) ) $ e la cui dinamica è descritta dalla hamiltoniana $ H=vec(p)^2/(2m)+ vec(B)*vec(L) $ dove B è il vettore costante $ vec(B)=( (0),(0),(B_0) ) $
Nella risoluzione venivano fuori le due equazioni differenziali:
$ (dp_x)/dt =-B_zp_y $
$ (dp_y)/dt =-B_zp_x $
e a questo punto veniva derivata la prima ottenendo $ (d^2p_x)/dt^2 = -B_z (dp_y)/dt = -B_z^2p_x $
Adesso si risolveva quest'ultima che è la solita equazione del moto armonico.
Il mio dubbio sorgeva qui, chi mi dice che derivando ottengo un'equazione le cui soluzioni sono tutte e sole le soluzioni del sistema di equazioni precedente?
Nella risoluzione venivano fuori le due equazioni differenziali:
$ (dp_x)/dt =-B_zp_y $
$ (dp_y)/dt =-B_zp_x $
e a questo punto veniva derivata la prima ottenendo $ (d^2p_x)/dt^2 = -B_z (dp_y)/dt = -B_z^2p_x $
Adesso si risolveva quest'ultima che è la solita equazione del moto armonico.
Il mio dubbio sorgeva qui, chi mi dice che derivando ottengo un'equazione le cui soluzioni sono tutte e sole le soluzioni del sistema di equazioni precedente?
"Cannone Speciale":
chi mi dice che derivando ottengo un'equazione le cui soluzioni sono tutte e sole le soluzioni del sistema di equazioni precedente?
Ora non ho tempo di cercare i dettagli, ma mi pare di ricordare che la cosa sia assicurata da un teorema inerente.
Di che teorema si tratta? Sai dirmi dove posso trovarlo? Grazie per la risposta
"pilloeffe":
[quote="Cannone Speciale"]chi mi dice che derivando ottengo un'equazione le cui soluzioni sono tutte e sole le soluzioni del sistema di equazioni precedente?
Ora non ho tempo di cercare i dettagli, ma mi pare di ricordare che la cosa sia assicurata da un teorema inerente.[/quote]
Potresti dirmi il nome di questo teorema?
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