Derivare rispetto a xi f(tx)
Buona sera
Sia $f(x^1,x^2,...,x^n)$ definita in $AsubR^n$ e a valori reali, ivi derivabile parzialmente rispetto a $x^i$.
$A$ un cono aperto di $R^n$.
Dunque per ogni numero reale positivo e $x in A$ è che $tx inA$
e quindi si può parlare di $f(tx)$.
Come si potrebbe calcolare la eventuale derivata parziale rispetto alla variabile $x^i$ di $f(tx^1,tx^2,...,tx^n)$ in $x^0 in A$?
Voi come fareste ?
Grazie a tutti
Mino
Sia $f(x^1,x^2,...,x^n)$ definita in $AsubR^n$ e a valori reali, ivi derivabile parzialmente rispetto a $x^i$.
$A$ un cono aperto di $R^n$.
Dunque per ogni numero reale positivo e $x in A$ è che $tx inA$
e quindi si può parlare di $f(tx)$.
Come si potrebbe calcolare la eventuale derivata parziale rispetto alla variabile $x^i$ di $f(tx^1,tx^2,...,tx^n)$ in $x^0 in A$?
Voi come fareste ?
Grazie a tutti
Mino
Risposte
Non mi date un aiuto?
come dimostro la derivabilità a naso non mi convince tanto.
Ma in attesa di un intervento comincio:
$A$ è un aperto e pertanto esiste un intorno di $x^0$ incluso in A: $H=I(x^0,d)$ con $d>0$ raggio dell' intorno.
Quindi posso considerare un intorno $ Y = I(0,d) in R $ tale che $(x^01,x^02,..,x^(0i)+h,..x^(0n)) in H sub A$ quando $hinY$.
$A$ è un cono allora $t(x^01,x^02,..,x^(0i)+h,..x^(0n))inA$.
In $I(0,d)-{0}$ consideriamo la funzione reale (rapporto incrementale):
$(f(tx^01,tx^02,..,t(x^(0i)+h),..tx^(0n))-f(tx^0))/h=t(f(tx^01,tx^02,..,tx^(0i)+th,..tx^(0n))-f(tx^0))/(th)$
la funzione reale th è invertibile e posto th=z vale
$ lim_(h ->0 )(f(tx^01,tx^02,..,t(x^(0i)+h),..tx^(0n))-f(tx^0))/h= lim_(z ->0 ) t(f(tx^01,tx^02,..,tx^(0i)+z,..tx^(0n))-f(tx^0))/(z)$
per il limite delle funzioni composte, per ipotesi di derivabilità parziale si ha l' esistenza della derivata (parziale) e
il secondo membro vale $tpartial f(tx^0)/(partial x^i)$
ma
il primo membro invece è ?
se $f$ fosse omogenea, il primo membro è ?
saluti e buona notte a tutti!
Mino
come dimostro la derivabilità a naso non mi convince tanto.
Ma in attesa di un intervento comincio:
$A$ è un aperto e pertanto esiste un intorno di $x^0$ incluso in A: $H=I(x^0,d)$ con $d>0$ raggio dell' intorno.
Quindi posso considerare un intorno $ Y = I(0,d) in R $ tale che $(x^01,x^02,..,x^(0i)+h,..x^(0n)) in H sub A$ quando $hinY$.
$A$ è un cono allora $t(x^01,x^02,..,x^(0i)+h,..x^(0n))inA$.
In $I(0,d)-{0}$ consideriamo la funzione reale (rapporto incrementale):
$(f(tx^01,tx^02,..,t(x^(0i)+h),..tx^(0n))-f(tx^0))/h=t(f(tx^01,tx^02,..,tx^(0i)+th,..tx^(0n))-f(tx^0))/(th)$
la funzione reale th è invertibile e posto th=z vale
$ lim_(h ->0 )(f(tx^01,tx^02,..,t(x^(0i)+h),..tx^(0n))-f(tx^0))/h= lim_(z ->0 ) t(f(tx^01,tx^02,..,tx^(0i)+z,..tx^(0n))-f(tx^0))/(z)$
per il limite delle funzioni composte, per ipotesi di derivabilità parziale si ha l' esistenza della derivata (parziale) e
il secondo membro vale $tpartial f(tx^0)/(partial x^i)$
ma
il primo membro invece è ?
se $f$ fosse omogenea, il primo membro è ?
saluti e buona notte a tutti!
Mino
nessun suggerimento?
Se si ponesse $H(x)=f(tx)$ ovvero $H$ è composta da $f$ (componente esterna) e $tx$ componente interna invertibile in $A$ della variabile x.
Allora il primo membro è la derivata parziale rispetto a $x^i$ in $x^0$ di $H(x)=f(tx)$;
Se f fosse omogenea allora il primo membro è:
$lim_(h -> 0)(f(tx^01,...,tx^(0i)+th,..tx^(0n))-f(tx^0))/h$ = $tlim_(h -> 0)(f(x^01,...,x^(0i)+h,..x^(n))-f(x^0))/h=tpartial f/(partial x^i)(x^0)$
Almeno credo
Buona notte
Mino
Allora il primo membro è la derivata parziale rispetto a $x^i$ in $x^0$ di $H(x)=f(tx)$;
Se f fosse omogenea allora il primo membro è:
$lim_(h -> 0)(f(tx^01,...,tx^(0i)+th,..tx^(0n))-f(tx^0))/h$ = $tlim_(h -> 0)(f(x^01,...,x^(0i)+h,..x^(n))-f(x^0))/h=tpartial f/(partial x^i)(x^0)$
Almeno credo
Buona notte
Mino
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