Derivare m volte
In un libro che sto leggendo, mi trovo di fronte l'equazione di Legendre:
\(\displaystyle \left[ \left( 1-w^{2} \right)\frac{d^{2}}{dw^{2}}-2w\frac{d}{dw}+k \right]f\left( w \right)=0 \)
Il libro fa un passaggio per me oscuro, dicendo semplicemente "derivando m volte l'equazione sopra si ottiene:"
\(\displaystyle \left[ \left( 1-w^{2} \right)\frac{d^{m+2}}{dw^{m+2}}-2\left( m+1 \right)w\frac{d^{m+1}}{dw^{m+1}}+\left( k-m\left( m+1 \right) \right)\frac{d^{m}}{dw^{m}} \right]f\left( w \right)=0 \)
qualcuno ha idea del perchè si dovrebbe vedere immediatamente?
Se applico la solita regola della derivazione del prodotto già solo al primo termine della prima equazione viene un delirio.
Grazie in anticipo.
\(\displaystyle \left[ \left( 1-w^{2} \right)\frac{d^{2}}{dw^{2}}-2w\frac{d}{dw}+k \right]f\left( w \right)=0 \)
Il libro fa un passaggio per me oscuro, dicendo semplicemente "derivando m volte l'equazione sopra si ottiene:"
\(\displaystyle \left[ \left( 1-w^{2} \right)\frac{d^{m+2}}{dw^{m+2}}-2\left( m+1 \right)w\frac{d^{m+1}}{dw^{m+1}}+\left( k-m\left( m+1 \right) \right)\frac{d^{m}}{dw^{m}} \right]f\left( w \right)=0 \)
qualcuno ha idea del perchè si dovrebbe vedere immediatamente?
Se applico la solita regola della derivazione del prodotto già solo al primo termine della prima equazione viene un delirio.
Grazie in anticipo.
Risposte
Per evitare il delirio di conti, i fisici mi insegnano a far così: introduco un operatore $X$ che applicato a una funzione $f$ restituisce un'altra funzione $Xf$ definita ponendo $(Xf)(w):=w\cdot f(w)$ per ogni $w$; introduco un secondo operatore $P$ che applicato a una funzione restituisce la sua derivata: $(Pf)(w)=f'(w)$; e per completezza introduco un terzo operatore $I$ che non fa nulla: $(If)(w)=f(w)$.
Posso trattarli come se fossero matrici e scrivere l'operatore dell'equazione di Legendre come $(I-X^2)P^2-2XP+kI$. Compongo questo operatore con $P^m$ e trovo \[ P^m((I-X^2)P^2-2XP+kI) = P^{m+2} - P^m X^2 P^2 - 2P^m XP + kP^m \] Rispetto a quello a cui vorremmo arrivare, la posizione di $X$ e $X^2$ non è buona perché nei termini in cui compaiono vorrei trovarli a sinistra. Devo ricordarmi che $X$ e $P$ non commutano, anzi Leibniz e Heisenberg mi insegnano che $PX=XP+I$; quindi $P^2 X=P(PX)=P(XP+I)=(PX)P+P=(XP+I)P+P=XP^2+2P$ e così via per induzione: $P^m X=XP^m+mP^{m-1}$.
Sistemo i termini che non mi andavano bene: \[ 2P^mXP = 2(XP^m+mP^{m-1})P = 2XP^{m+1}-2mP^m \] \[ P^m X^2P^2 = (XP^m+mP^{m-1})XP^2 = X^2P^{m+2}+2mXP^{m+1}+m(m-1)XP^m \] e a conti fatti l'espressione di prima diventa \[ (I-X^2)P^{m+2}-2(m+1)XP^{m+1}+(k-m(m+1))P^m \] che è proprio quello che voleva l'autore del libro.
Posso trattarli come se fossero matrici e scrivere l'operatore dell'equazione di Legendre come $(I-X^2)P^2-2XP+kI$. Compongo questo operatore con $P^m$ e trovo \[ P^m((I-X^2)P^2-2XP+kI) = P^{m+2} - P^m X^2 P^2 - 2P^m XP + kP^m \] Rispetto a quello a cui vorremmo arrivare, la posizione di $X$ e $X^2$ non è buona perché nei termini in cui compaiono vorrei trovarli a sinistra. Devo ricordarmi che $X$ e $P$ non commutano, anzi Leibniz e Heisenberg mi insegnano che $PX=XP+I$; quindi $P^2 X=P(PX)=P(XP+I)=(PX)P+P=(XP+I)P+P=XP^2+2P$ e così via per induzione: $P^m X=XP^m+mP^{m-1}$.
Sistemo i termini che non mi andavano bene: \[ 2P^mXP = 2(XP^m+mP^{m-1})P = 2XP^{m+1}-2mP^m \] \[ P^m X^2P^2 = (XP^m+mP^{m-1})XP^2 = X^2P^{m+2}+2mXP^{m+1}+m(m-1)XP^m \] e a conti fatti l'espressione di prima diventa \[ (I-X^2)P^{m+2}-2(m+1)XP^{m+1}+(k-m(m+1))P^m \] che è proprio quello che voleva l'autore del libro.
Grazie mille, grandissimo.
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