Derivare integrale che restituisce equazione differenziale
Salve a tutti; scusatemi ma sto impazzendo davanti ad un problema che non mi era mai capitato prima. Ho la necessita' di fare la derivata rispetto al tempo di un integrale ma il risultato non e' la semplice funzione che esce applicando le regole di derivazione delle funzioni composte ma una equazione differenziale e non riesco a capire come calcolarla !
In pratica l'integrale è questo:
\( \frac{1}{C}\ \int_0^t\ \text i(t) dt + v_c\text (0)+ R i(t) = 0 \)
Derivando rispetto al tempo e ricordando che la quantità \( v_c\text (0) \) e' una costante dovrebbe venire:
\( \text RC \frac{di}{dt} \text + i = 0 \)
per ogni t maggiore o uguale a zero !
Io oltre a fare:
\( \frac{d}{dt} \text i(0) - \frac{d}{dt} \text i(t) \)
che tra l'altro non so neanche se è l'approccio giusto, . . . poi mi fermo !
Se qualcuno ha qualche idea ed è cosi' gentile da postarmela gliene saro' grato.
marco
In pratica l'integrale è questo:
\( \frac{1}{C}\ \int_0^t\ \text i(t) dt + v_c\text (0)+ R i(t) = 0 \)
Derivando rispetto al tempo e ricordando che la quantità \( v_c\text (0) \) e' una costante dovrebbe venire:
\( \text RC \frac{di}{dt} \text + i = 0 \)
per ogni t maggiore o uguale a zero !
Io oltre a fare:
\( \frac{d}{dt} \text i(0) - \frac{d}{dt} \text i(t) \)
che tra l'altro non so neanche se è l'approccio giusto, . . . poi mi fermo !
Se qualcuno ha qualche idea ed è cosi' gentile da postarmela gliene saro' grato.
marco
Risposte
L'equazione \(RC i'(t) + i(i) = 0\) è una classica equazione differenziale di quelle belle [lineare, coefficienti costanti, omogenea, primo ordine] della forma \(y' = \lambda y\).
La sua soluzione si trova in forma chiusa, con una formula che dovresti conoscere bene!
La sua soluzione si trova in forma chiusa, con una formula che dovresti conoscere bene!
Ciao Raptorista !
Grazie per la risposta . . . il mio problema non è risolvere l'equazione differenziale (la forma più semplice poi...) . . . il mio problema è quello di non riuscire a capire come, derivando quell'integrale con quelle 2 somme di seguito esce fuori quell'equazione differenziale ! Grazie per l'aiuto.
Grazie per la risposta . . . il mio problema non è risolvere l'equazione differenziale (la forma più semplice poi...) . . . il mio problema è quello di non riuscire a capire come, derivando quell'integrale con quelle 2 somme di seguito esce fuori quell'equazione differenziale ! Grazie per l'aiuto.
Questo non è difficile!
Prendi la tua relazione e fai la derivata di entrambi i membri: a destra non c'è problema, la costante sparisce, \(i\) diventa \(i'\) ed infine \(\int_0^t i(s) \ ds\) puoi pensarlo come \(I(t) - I(0)\) e fare la derivata di quest'ultimo [ovviamente, qui \(I\) è la primitiva di \(i\)].
Tutto chiaro?
Prendi la tua relazione e fai la derivata di entrambi i membri: a destra non c'è problema, la costante sparisce, \(i\) diventa \(i'\) ed infine \(\int_0^t i(s) \ ds\) puoi pensarlo come \(I(t) - I(0)\) e fare la derivata di quest'ultimo [ovviamente, qui \(I\) è la primitiva di \(i\)].
Tutto chiaro?
Ciao raptorista !
Grazie per la risposta e scusami per il ritardo con il quale ti rispondo ma l'influenza quest'anno mi ha centrato in pieno !
Nell'immagine che ti allego puoi vedere la primitiva di I. Io ho provato a farlo ma c'è qualcosa che mi sfugge perchè o mi rimane la frazione 1/C nell'equazione differenziale oppure non mi esce la R ! Non te lo scannerizzo perchè tanto è errato ma se vuoi appena ho tempo lo posto. Se tu intanto vedendo la primitiva riesci a capire come si fa te ne sarei grato. Lo stesso identico integrale puoi trovarlo su wikipedia alla voce "condensatore"; tra i vari tipi di condensatori che escono devi scegliere quello utilizzato in elettrotecnica; anche lì purtroppo dice solo "derivando e moltiplicando per C si ottiene . . ." etc. senza spiegarne il passaggio che, come si è capito, riguarda la derivazione delle funzioni composte.
Il link è:
http://it.wikipedia.org/wiki/Condensato ... trotecnica)
Grazie per l'interessamento.
Grazie per la risposta e scusami per il ritardo con il quale ti rispondo ma l'influenza quest'anno mi ha centrato in pieno !
Nell'immagine che ti allego puoi vedere la primitiva di I. Io ho provato a farlo ma c'è qualcosa che mi sfugge perchè o mi rimane la frazione 1/C nell'equazione differenziale oppure non mi esce la R ! Non te lo scannerizzo perchè tanto è errato ma se vuoi appena ho tempo lo posto. Se tu intanto vedendo la primitiva riesci a capire come si fa te ne sarei grato. Lo stesso identico integrale puoi trovarlo su wikipedia alla voce "condensatore"; tra i vari tipi di condensatori che escono devi scegliere quello utilizzato in elettrotecnica; anche lì purtroppo dice solo "derivando e moltiplicando per C si ottiene . . ." etc. senza spiegarne il passaggio che, come si è capito, riguarda la derivazione delle funzioni composte.
Il link è:
http://it.wikipedia.org/wiki/Condensato ... trotecnica)
Grazie per l'interessamento.
Stop, non mi stai ascoltando!!
Tu vuoi andare da
\[
\frac 1 C \int_0^t i(\tau) \ d \tau + v_c(0) + R i(t) = 0
\]
a
\[
RC i'(t) + i = 0,
\]
giusto?
Ora, non devi fare altro che derivare entrambi i membri della prima che ho scritto. Ti ricordo [visto che il suggerimento non è stato colto] che esiste un teorema, che si chiama Teorema Fondamentale del Calcolo [e che, siccome si chiama fondamentale, forse è il caso di tenere a mente] che dice che
\[
\frac d {dt} \int_0^t f(\tau) \ d \tau = f(t).
\]
Detto questo, il tuo problema è già risolto [per la seconda volta] e tu devi solamente eseguire le istruzioni che ti ho lasciato. Tutto chiaro?
Tu vuoi andare da
\[
\frac 1 C \int_0^t i(\tau) \ d \tau + v_c(0) + R i(t) = 0
\]
a
\[
RC i'(t) + i = 0,
\]
giusto?
Ora, non devi fare altro che derivare entrambi i membri della prima che ho scritto. Ti ricordo [visto che il suggerimento non è stato colto] che esiste un teorema, che si chiama Teorema Fondamentale del Calcolo [e che, siccome si chiama fondamentale, forse è il caso di tenere a mente] che dice che
\[
\frac d {dt} \int_0^t f(\tau) \ d \tau = f(t).
\]
Detto questo, il tuo problema è già risolto [per la seconda volta] e tu devi solamente eseguire le istruzioni che ti ho lasciato. Tutto chiaro?
Grazie Raptorista per l'ennesima risposta. Effettivamente mi ha portato fuori strada quel discorso iniziale contenente \(I(t) - I(0)\) ma applicando il teorema fondamentale ho calcolato ciò che puoi vedere nell'immagine allegata. L'ultimo problema che mi rimane da risolvere è il fatto che a me viene " i(t) " in luogo di " i " nella equazione differenziale.
"Marco_Subiaco":
L'ultimo problema che mi rimane da risolvere è il fatto che a me viene " i(t) " in luogo di " i " nella equazione differenziale.
. . . si scusami hai ragione . . . è che sono abituato ad una ferrea sintassi ed al suo ferreo rispetto, nasco come programmatore . . . sorry
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