Derivabilità\continuità

[Audrey2]

Ponto un altro piccolo quesito che non riesco a capire...
se la funzione $f'(x) $ ha un punto angoloso allora la funzione $f(x)$ non è continua.

Nel testo c'è scritto FALSO ma io non riesco a capire...
ma scusate non è la derivabilità che implica la continuita? Se c'è un punto angoloso vuol dire che la funzione non è derivabile in quel punto, ergo non è continua. In cosa è errato il mio ragionamento? grazie

[Paolo902]

Sì, derivabilità $=>$ continuità. Il fatto è che ciò è equivalente a dire che non continuità $=>$ non derivabilità. Ricorda, infatti, che $p =>q$ ha lo stesso valore di verità di $"non" q => "non"p$.

In altre parole, il fatto che la $f$ non sia derivabile in $x_0$ non ci dà informazioni sulla continuità o meno della $f$ stessa: pensa a $|x|$ in $x=0$.
Più chiaro adesso?

[Seneca1]

"Audrey": Se c'è un punto angoloso vuol dire che la funzione non è derivabile in quel punto, ergo non è continua. In cosa è errato il mio ragionamento? grazie

Se in $x_0$ la funzione è derivabile, ivi è sicuramente continua.

Se in $x_0$ la funzione è continua, non è detto che sia ivi derivabile.

Se in un punto la funzione non è derivabile, allora in quel punto non puoi dire che sia continua.

[Audrey2]

si perfetto ragazzi. Ma allora a me verrebbe subito da dire che siccome la funzione non è derivabile in $x_0$ la funzione non è continua in quel punto ma il test dice il contrario!

[Camillo]

Punto angoloso è il caso di funzione continua ma non derivabile nel punto es. $y =|x| $ che è continua in $x=0 $ ma ivi non derivabile avendo derivata destra( +1) diversa da derivata sinistra(-1) nell'origine.
Altro esempio di funzione continua in tutto $RR$ ma non derivabile in $x=0; x= 4 $ è la funzione $y=|x^2-4x |$.

[Audrey2]

vi riporto cosa ho scritto: se $f'(x)$ ha un punto angoloso => $f'(x)$ è continua => $f(x)$ è derivabile => $f(x)$ è continua

[Seneca1]

"Audrey":vi riporto cosa ho scritto: se $f'(x)$ ha un punto angoloso => $f'(x)$ è continua => $f(x)$ è derivabile => $f(x)$ è continua

Ah ma... E' $f'(x)$ ad avere un punto angoloso?

[Audrey2]

si esatto seneca!

[federicav1]

Ciao Audry, non ho capito se hai risolto il tuo problema, comunque se esiste la derivata prima f'(x), per quanti punti angolosi possa avere, significa che la funzione di partenza f(x) è derivabile, quindi f(x) è continua. D'altra parte, se f(x) non fosse continua, non sarebbe neanche derivabile e quindi non esisterebbe f'(x).

[Audrey2]

chiarissima federica!