DERIVABILITA'...COME FARE?

[nepero87]

Salve... mi si chiede di dire per quali x reali è derivabile la funzione:

f(x)= $x^2*(cos(1/x^2)+1)$ se $x!=0$
f(x)=0 se $x=0$

La funzione scritta è unica... Come posso procedere? Mi sento un po' impacciato...

[carlo232]

"nepero87":Salve... mi si chiede di dire per quali x reali è derivabile la funzione:

f(x)= $x^2*(cos(1/x^2)+1)$ se $x!=0$
f(x)=0 se $x=0$

La funzione scritta è unica... Come posso procedere? Mi sento un po' impacciato...

DIrei che la funzione è derivabile per ogni $x!=0$ infatti in tal caso la derivata è

$2x(cos(1/x^2)+1)+2x^-1 sin(1/x^2)

in altro caso si ha tipo un punto angoloso in cui la derivata non è determinata

Ciao, ciao!

[nepero87]

Ah bene...grazie Carlo23, anche io ero giunto a questa conclusione, ma avevo forti dubbi...

In ogni caso èer sapere se una funzione è derivabile basta studiare il dominio della derivata, giusto?

[carlo232]

"nepero87":Ah bene...grazie Carlo23, anche io ero giunto a questa conclusione, ma avevo forti dubbi...

In ogni caso èer sapere se una funzione è derivabile basta studiare il dominio della derivata, giusto?

Si, però non so dirti molto sul caso generale!

[Nidhogg]

Se una funzione $y=f(x)$ è derivabile in un punto $x_0$ essa è ivi necessariamente anche continua. Non vale necessariamente il viceversa. Infatti ci sono funzioni continue in un punto senza essere ivi derivabili.

Ad esempio la funzione $f(x)=root{3}x$ è continua in $x_0=0$, ma non è ivi derivabile.

Infatti la funzione $f(x)$ è continua in $x_0=0$ essendo:

$lim_{x to 0} f(x)=0=f(0)$

Non è invece derivabile in $x_0=0$, poichè non esiste finito il limite del rapporto incrementale:

$(f(0+Delta x)-f(0))/(Delta x)$

al tendere a $0$ di $Delta x$. Infatti è:

$lim_{Delta x to 0} (f(0+Delta x)-f(0))/(Delta x)=lim_{Delta x to 0} (root{3}(0+Delta x)-root{3}(0))/(Delta x)=$
$=lim_{Delta x to 0} (root{3}(Delta x))/(Delta x)=lim_{Delta x to 0} 1/(root{3}((Delta x)^2))=+oo$