Derivabilità vs. Differenziabilità
Ciao a tutti!
Vi scrivo perché sono giunto ad Analisi II e prima non avevo mai distinto tra i concetti di derivabilità e differenziabilità, ma a quanto pare è giunto il momento!
Ciò che mi manda particolarmente in crisi è la seguente definizione che il mio libro da di funzione (da $R^2$ ad $R^2$) differenziabile:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\alpha h +\beta k + \omega (h,k)(h^2+k^2)^(1/2)$ con $\omega (h,k)$ che va a zero per $h$ e $k$ che vanno sempre a zero...
Il dubbio che mi sorge è: perché non vedo comparire nessun rapporto incrementale alla cui visione ero abituato quando sentivo parlare di derivabilità/differenziabilità?
(P.S. Mi rifaccio alle sole funzioni da $R^2$ ad $R^2$ e non al caso generale poiché sto affrontando lo studio di funzioni di variabile complessa, altro argomento particolarmente complicato in quanto non capisco se olomorfia e differenziabilità coincidano... Ma questa è un'altra storia!
Grazie mille a chi avrà la voglia di rispondere!
Vi scrivo perché sono giunto ad Analisi II e prima non avevo mai distinto tra i concetti di derivabilità e differenziabilità, ma a quanto pare è giunto il momento!
Ciò che mi manda particolarmente in crisi è la seguente definizione che il mio libro da di funzione (da $R^2$ ad $R^2$) differenziabile:
$f(x_0+h,y_0+k)-f(x_0,y_0)=\alpha h +\beta k + \omega (h,k)(h^2+k^2)^(1/2)$ con $\omega (h,k)$ che va a zero per $h$ e $k$ che vanno sempre a zero...
Il dubbio che mi sorge è: perché non vedo comparire nessun rapporto incrementale alla cui visione ero abituato quando sentivo parlare di derivabilità/differenziabilità?
(P.S. Mi rifaccio alle sole funzioni da $R^2$ ad $R^2$ e non al caso generale poiché sto affrontando lo studio di funzioni di variabile complessa, altro argomento particolarmente complicato in quanto non capisco se olomorfia e differenziabilità coincidano... Ma questa è un'altra storia!
Grazie mille a chi avrà la voglia di rispondere!
Risposte
Dividi tutto per $sqrt(h^2+ k^2)$
Una funzione si dice differenziale se:
$\cdot$ la funzione è di classe $C^1$, quindi se $f : A\subseteq R^2 \to R$ e $f\in C^1 (A)$;
$\cdot$ $\lim_{(h,k)\to (0,0)}$ $\frac{f(x_0 +h,y_0 +k)-f(x_0,y_0)-h f_x '(x_0,y_0) -k f_y '(x_o,y_0) + o(\sqrt{h^2 +k^2})}{\sqrt{h^2 +k^2}}=0$
dove $f_x '(x_0,y_0)$ è la derivata parziale di $f$ fatta rispetto alla $x$ calcolata nel punto $(x_0,y_0)$, $f_y '(x_0,y_0)$ è la derivata parziale di $f$ fatta rispetto alla $y$ calcolata nel punto $(x_0,y_0)$ , $h$ è l'incremento della variabile $x$, $k$ è l'incremento della variabile $y$, e $o(\sqrt{h^2 +k^2})$ è un o piccolo della distanza tra il punto $(x,y)$ e il punto $(x_0 ,y_0)$, ovvero una funzione che tende a $0$ per $(h,k)\to (0,0)$ più velocemente di $\sqrt{h^2 +k^2}$.
$\cdot$ la funzione è di classe $C^1$, quindi se $f : A\subseteq R^2 \to R$ e $f\in C^1 (A)$;
$\cdot$ $\lim_{(h,k)\to (0,0)}$ $\frac{f(x_0 +h,y_0 +k)-f(x_0,y_0)-h f_x '(x_0,y_0) -k f_y '(x_o,y_0) + o(\sqrt{h^2 +k^2})}{\sqrt{h^2 +k^2}}=0$
dove $f_x '(x_0,y_0)$ è la derivata parziale di $f$ fatta rispetto alla $x$ calcolata nel punto $(x_0,y_0)$, $f_y '(x_0,y_0)$ è la derivata parziale di $f$ fatta rispetto alla $y$ calcolata nel punto $(x_0,y_0)$ , $h$ è l'incremento della variabile $x$, $k$ è l'incremento della variabile $y$, e $o(\sqrt{h^2 +k^2})$ è un o piccolo della distanza tra il punto $(x,y)$ e il punto $(x_0 ,y_0)$, ovvero una funzione che tende a $0$ per $(h,k)\to (0,0)$ più velocemente di $\sqrt{h^2 +k^2}$.
Grazie mille! Ora mi è tutto più chiaro.
Un dubbio però mi rimane: da dove tiro fuori questa funzione $\omega$?
Ho riproposto questo dubbio anche in quest'altro argomento pubblicato nella sezione "Analisi Superiore", in quanto mi rifacevo in particolare alle funzioni di variabile complessa, ma credo si tratti dello stesso dubbio: viewtopic.php?f=54&t=177122
Se riuscissi a darmi delucidazioni ne sarei veramente contento: mi sento vicinissimo alla comprensione della questione!
Un dubbio però mi rimane: da dove tiro fuori questa funzione $\omega$?
Ho riproposto questo dubbio anche in quest'altro argomento pubblicato nella sezione "Analisi Superiore", in quanto mi rifacevo in particolare alle funzioni di variabile complessa, ma credo si tratti dello stesso dubbio: viewtopic.php?f=54&t=177122
Se riuscissi a darmi delucidazioni ne sarei veramente contento: mi sento vicinissimo alla comprensione della questione!
Sono abbastanza sicuro che quell' $omega (h,k)$ sia solo una notazione per indicare un $o(1)$ per $(h,k) rarr 0$
Grazie mille!
"Frigorifero":
Una funzione si dice differenziale se:
$\cdot$ la funzione è di classe $C^1$, quindi se $f : A\subseteq R^2 \to R$ e $f\in C^1 (A)$;
$\cdot$ $\lim_{(h,k)\to (0,0)}$ $\frac{f(x_0 +h,y_0 +k)-f(x_0,y_0)-h f_x '(x_0,y_0) -k f_y '(x_o,y_0) + o(\sqrt{h^2 +k^2})}{\sqrt{h^2 +k^2}}=0$
dove $f_x '(x_0,y_0)$ è la derivata parziale di $f$ fatta rispetto alla $x$ calcolata nel punto $(x_0,y_0)$, $f_y '(x_0,y_0)$ è la derivata parziale di $f$ fatta rispetto alla $y$ calcolata nel punto $(x_0,y_0)$ , $h$ è l'incremento della variabile $x$, $k$ è l'incremento della variabile $y$, e $o(\sqrt{h^2 +k^2})$ è un o piccolo della distanza tra il punto $(x,y)$ e il punto $(x_0 ,y_0)$, ovvero una funzione che tende a $0$ per $(h,k)\to (0,0)$ più velocemente di $\sqrt{h^2 +k^2}$.
Idee confuse, ritenta
@Studente-fisica
1. la differenziabilità spunta fuori con funzioni di due o più variabili perché per quelle di una variabile una funzione è differenziabile in un punto se e solo se è derivabile in quel punto... Quindi i prof di analisi, che tanto amano gli studenti imberbi, evitano di riempire le loro testoline con cosine non essenziali
2. il guaio è che il "sostituto naturale"(*) della idea di derivata in un punto (con la sua classica interpretazione geometrica quale "coefficiente angolare della retta tangente"), per funzioni di due variabili sarebbero le derivate parziali. Ma... l'esistenza di derivate parziali NON garantisce che ci sia un "piano tangente" al grafico!! E allora calma e gesso: bisogna riconsiderare la faccenda
3. L'idea ("analitica") di retta o piano tangente è quella di una funzone lineare (sarebbe affine, ma non sottilizziamo troppo) che approssimi bene la funzione "vicino" al punto che ci interessa. Allora prendiamo:
$f(x) - f(x_0)$
$L(x) - L(x_0)$
dove $f$ è la funzione che abbiamo tra i piedi, mentre $L$ è la funzione lineare che stiamo cercando.
Cerchiamo di capire come tradurre "in formule" l'affermazione
approssimi bene la funzione "vicino" al punto che ci interessa
La traduciamo(**) considerando il comportamento di limite quando $x -> x_0$
Ora, essendo $L$ lineare, il limite di $L(x) - L(x_0)$ per $x -> x_0$ è 0. Quindi dovrà essere $0$ anche il limite di $f(x) - f(x_0)$. Ovverossia, $f$ deve essere continua in $x_0$.
Fatto?
4. NO, neanche per idea. Se una funzione è continua in $x_0$, ogni funzione lineare la approssimerebbe altrettanto bene, nel senso appena visto.
E allora? Pretendiamo di più! Cerchiamo se c'è, tra tutte le $L$ una che approssimi $f$ "meglio delle altre".
Quindi non ci limitiamo a pretendere che sia
$\lim_{x -> x_0} [ (f(x) - f(x_0)) - (L(x) - L(x_0)) ] = 0$
ma chiediamo che vada a zero "piuttosto rapidamente", ovvero più rapidamente di quanto non ci vada $x-x_0$:
$\lim_{x -> x_0} \frac{ [(f(x) - f(x_0)) - (L(x) - L(x_0)) ]}{|x-x_0|} = 0$
5. Beh, di L così fatte ce n'è al massimo una. Se c'è, diciamo che $f$ è differenziabile in $x_0$ e chiamiamo $L$ il differenziale di $f$ in $x_0$
6. Carino poi il teorema del differenziale, il quale ci garantisce che, se $f$ è differenziabile, allora $L$ la possiamo trovare calcolando le derivate parziali
(*) si potrebbe obiettare, ma comunque l'affermazione non è una evidente scemenza
(**) questo è solo uno dei possibili approcci, anche se è di devastante interesse rispetto agli altri
1. la differenziabilità spunta fuori con funzioni di due o più variabili perché per quelle di una variabile una funzione è differenziabile in un punto se e solo se è derivabile in quel punto... Quindi i prof di analisi, che tanto amano gli studenti imberbi, evitano di riempire le loro testoline con cosine non essenziali
2. il guaio è che il "sostituto naturale"(*) della idea di derivata in un punto (con la sua classica interpretazione geometrica quale "coefficiente angolare della retta tangente"), per funzioni di due variabili sarebbero le derivate parziali. Ma... l'esistenza di derivate parziali NON garantisce che ci sia un "piano tangente" al grafico!! E allora calma e gesso: bisogna riconsiderare la faccenda
3. L'idea ("analitica") di retta o piano tangente è quella di una funzone lineare (sarebbe affine, ma non sottilizziamo troppo) che approssimi bene la funzione "vicino" al punto che ci interessa. Allora prendiamo:
$f(x) - f(x_0)$
$L(x) - L(x_0)$
dove $f$ è la funzione che abbiamo tra i piedi, mentre $L$ è la funzione lineare che stiamo cercando.
Cerchiamo di capire come tradurre "in formule" l'affermazione
approssimi bene la funzione "vicino" al punto che ci interessa
La traduciamo(**) considerando il comportamento di limite quando $x -> x_0$
Ora, essendo $L$ lineare, il limite di $L(x) - L(x_0)$ per $x -> x_0$ è 0. Quindi dovrà essere $0$ anche il limite di $f(x) - f(x_0)$. Ovverossia, $f$ deve essere continua in $x_0$.
Fatto?
4. NO, neanche per idea. Se una funzione è continua in $x_0$, ogni funzione lineare la approssimerebbe altrettanto bene, nel senso appena visto.
E allora? Pretendiamo di più! Cerchiamo se c'è, tra tutte le $L$ una che approssimi $f$ "meglio delle altre".
Quindi non ci limitiamo a pretendere che sia
$\lim_{x -> x_0} [ (f(x) - f(x_0)) - (L(x) - L(x_0)) ] = 0$
ma chiediamo che vada a zero "piuttosto rapidamente", ovvero più rapidamente di quanto non ci vada $x-x_0$:
$\lim_{x -> x_0} \frac{ [(f(x) - f(x_0)) - (L(x) - L(x_0)) ]}{|x-x_0|} = 0$
5. Beh, di L così fatte ce n'è al massimo una. Se c'è, diciamo che $f$ è differenziabile in $x_0$ e chiamiamo $L$ il differenziale di $f$ in $x_0$
6. Carino poi il teorema del differenziale, il quale ci garantisce che, se $f$ è differenziabile, allora $L$ la possiamo trovare calcolando le derivate parziali
(*) si potrebbe obiettare, ma comunque l'affermazione non è una evidente scemenza
(**) questo è solo uno dei possibili approcci, anche se è di devastante interesse rispetto agli altri
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